“参数开门”，“反客为主”
——数学破题技法（九）
“反客为主”，原意是指在日常生活里，客人与主人位置倒置，客人的行为、举止俨然是主人，而主人反而就了客位。此计应用在数学解题的过程中，由参数唱主角可能会带来更加精彩的结局。参数，顾名思义，是种“参考数”，仅供参考，因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用。?
有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定；二是参数根本不在，要你“无中生有”.??
▲典例示范?
【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆x+
2
y22=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已
知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PF·MF＝0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.?
【分析】 四边形“没有”面积公式，因此难以用某边长为参数，建立面积函数式.? 幸好，它有两条互相垂直的对角线PQ和MN，使得四边形面积可用它们的乘积来表示，然而，它们要与已知椭圆找到关系，还需要一个参数k，并找到PQ，MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了.?
【解答】 如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1）， 且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条，不妨设PQ的斜率为k.? 【插语】 题设中没有这个k，因此是“无中生有”式的参数.
我们其所以看中它，是认定它不仅能表示|PQ|= f1(k)，还能表示|MN|= f2(k).?
【续解】 又PQ过点F（0，1），故PQ方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得（2+k)x+2kx-1=0，设P、Q两点的坐标分别为（x1，y1)，(x2，y2)，则?
?k?2k?22222
x1=
2?k2
?,x?2??k?2k?22?k22，?
22(1?k)2?k22从而｜PQ｜＝(x1-x2)+(y1-y2)=
22
8(1?k)(2?k)2222,? 亦即|PQ|=.?
【插语】 无论在椭圆方程中，还是P，Q，M，N的坐标中，x,y是当之无愧的主元.而这
1
是新的函数关系|PQ|=f1(k)=
22(1?k)2?k22标志着主宾易位，问题已经发生了转程.?
12??22?1?(?)?k?1?【续解】 (ⅰ)当k≠0时，MN的斜率为-，同上可推得，?｜MN｜=,
1k22?(?)k2?故四边形S＝
124(1?k)(1?1k11k22)?)4(2?k2?1k2k2)|PQ|·|MN|=
(2?k)(2?2.?
5?2k?32令u=k2+
1k2，得S=
1k24(2?u)5?2u?2(1?15?2u).?
因为u=k2+S<2.?
≥2，当k=±1时，u=2，S=
169，且S是以u为自变量的增函数，所以
169≤
【插语】 以上为本题解答的主干，以下k=0时情况，只是一个小小的补充，以显完善之美.其实，以“不失一般性”为由，设“k≠0”为代表解答亦可.这时，可省去下边的话.? 【续解】 (ⅱ)当k=0时，MN为椭圆长轴，｜MN｜＝22，|PQ|=2，S=综合(ⅰ)(ⅱ)知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为
16912|PQ|·|MN|=2.
.?
【点评】 参数k将F(x，y)=0的方程转化为关于k的函数，达到“宾主融融”的和谐境界.参数成为解题化归中的一个重要的角色，有时在“反客为主”中成为主角.?? ?1?【例2】 对于a∈［-1,1］,求使不等式???2?x?ax2?1?????2?2x?a?1恒成立的x的取值范围.?
【分析】 本题化指数不等式为整式不等式是不难的，问题是下一步应当怎样走！你是以x为主，讨论二次不等式？还是以a为主，讨论一次不等式？其难易之分是显而易见的.? ?1?【解答】 y=??为R上的减函数，∴由原不等式得：x2+ax>2x+a+1.?
?2?x即a(x-1)+(x-2x-1)>0当a∈［-1，1］时恒成立.? 令f (a)=a(x-1)+(x2-2x-1).?
2??x?0或x?3?f(?1)?0?x?3x?0只须??????x?(-∞,-1)∪(3,+∞)即为所求.
2??f(1)?0?x??1或x?2?x?x?2?02
2
【例3】 求函数y=
3?sinx2?cosx的最大值与最小值.?
2t23t?2t?31?t ?221?tt?32【解答一】 设tan
x23?=t，则y=
2?1?t2即t(y-3)-2t+3y-3=0 ①? ∵t=tan
x22
∈R,? ∴关于t的方程①必有实数根,? ∴ Δ= 4-4·3(y-3)(y-1)≥0.?
23233≤y≤2+3.?
233.
即3y2-12y+8≤0，解得：2-即ymax =2+
233，ymin =2-
【解答二】 原式变形：sin x-y cos x=2y-3，1?y2sin (x+φ)=2y-3.? ∵ |sin (x+φ)|≤1，∴1?y2≤|2y-3|.? 平方化简得：3y-12y+8≤0.(下略)?
【点评】 本例中y是x的函数，而且是由三角函数与有理分式复合而成的函数, 按常法应是由自变量x的讨论确定函数的值域，可是本例的两种解法都是“反客为主”，或 通过转化为关于t的方程必有实数解，或通过正弦函数的有界性去直接处理函数的值域，理 由是:这样解法简单，而且同样能达到目的.??
【例4】 若cosθ+2m sinθ-2m-2<0恒成立，试求实数m的取值范围.? 【解答】 反客为主，不看成关于sinθ的二次式，而看成关于m的一次式.? 原不等式即：2m(sinθ-1)<1+sin2θ,? 如sinθ=1，则0<1恒成立，此时m∈R.?
如sinθ≠1，∵sinθ∈［-1,1］，只能sinθ∈［-1,1)，于是sinθ-1<0.?? ∴2m>
1?sin22
2
θsinθ-12-?(1?sinθ)??2??
1?sinθ??2∵ (1-sinθ)+
1?sinθ≥22.?
2当且仅当1- sinθ=
2??，即sinθ=1-2时，?(1?sinθ)?=22,? ?1?sinθ1?sinθ??min?1?sin2θ?∴???=2-22.? ??sinθ?1?max
3
为使2m>
1?sin2θsinθ-1恒成立,只需2m>2-22，∴m>1-2.?
综合得：所求m的取值范围为：m∈(1-2，+∞).??
x2【例5】 已知动点P为双曲线
2?19y23=1的两个焦点，F1，F2的距离之和为定值，且
cos∠F1PF2的最小值为?(1)求动点P的轨迹方程；?
.
(2)若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上，且DM=λDN，求实数λ的取值范围.? 【思考】 (1)动点的轨迹为椭圆，当P在椭圆上时，由cos∠F1PF2=?知∠F1PF2必为钝角且为最大角，则P应为短轴端点(须证明),据此可 求出椭圆方程.?
(2)M、N在椭⊙上,?DM=λDN时,?DM与DN必共线,可用设参、消参 的方式确定λ的范围.?
【解答】 (1)设P(x,y)为轨迹上一点，命|PF1|= r1，|PF2|= r2，∵r1+r2=2a为定值，且 F1(?5,0)，F2(5，0)为定点.?
1919<0，
∴点P的轨迹为椭圆，已知(cos∠F1PF2)min=?r1?r2?(25)2r1r22222.?
2a?10r1r22而cos∠F1PF2=
2?(r1?r2)?2r1r2?202r1r222??1，
这里
2a?10r1r222a?102a?10?r1?r2?2
>0，且r1r2≤?≥，从而 ?=a，∴2r1r2a?2?cos∠F1PF2≥
2a?10a22-1=1-
10a2,?
10a22当且仅当r1=r2，即P为短轴端点时,1-x2=?19，∴a=9，∵c=5，∴b=4.?
222
∴所求动点P的轨迹方程为：
9?y4=1.?
(2)由(1)知点D(0,3)在椭圆外，设M(m，s)，N(n，t)在椭圆上.? ∵DM=λDN，即(m，s-3)=λ(n，t-3),?
4
2?n2t??1??m?n??94∴? ∴??
222?s??(t?3)?3?n??(?t?3??3)?1?4?9消去n得：
2
t??(?t?3??3)4222???1??
2化简得：(13λ-5)(λ-1)=6tλ(λ-1)?
如λ=1，则DM=DN，M，N重合于一点，且为椭圆与直线DM的切点.? 如λ≠1，有：t=
13??56?，∵|t|≤2，-2≤
13??56?≤2，解得λ∈［
15，5］.?
【点评】 设参、消参及参数的讨论，历来是高考的重点和难点之一，特别当参数较多时，往往感到不得要领或无从下手，对这类问题的基本对策是:当参数多于两个时，应逐渐消去非主要的参数，最终得到两个互相依存的参数，最后或通过均值不等式，或通过解一般不等式，或通过三角函数等数学手段去确定所求参数的范围.??
【小结】 什么样的问题适合“反客为主”？如果问题本身并不繁难，大可不必画蛇添足，故弄玄虚.如果问题本身虽然繁难，但题型单一，本来就无主次之分，也就无从反客为主.? 所以，适合“反客为主”的问题，一定是正面比较繁难，而交换主突位置（例如含参变量的方程或函数）则相对容易破解问题.??
▲对应训练?
1.求使A=
x?2x?4x?3x?322为整数的一切实数x.?
?3x?2y?8?6x?5y?7?与??32.已知方程组?同解，求m、n的值.? 3?2mx?11y?1?7x?11ny?13.解关于x的方程：x4-6x3-2(a-3)x2+2(3a+4)x+2a+a2=0.?
1?1???，求该数列的通项.? a?4.已知正项数列{an}中，a1=1，且Sn=?n2?an??32
5.解方程x+(1+2)x-2=0.??
▲参考答案?
1.反客为主，让x为A服务.?
5