机械优化设计实验报告

机械设计实验报告

班级专业： 机制 10—4 班

姓名： 杨长文 学号：541002010450

1. 黄金分割法的基本思想

在实际计算中，最常用的一维搜索试探方法是黄金分割法，又称0.618法。 黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单谷函数求极值问题。对函数除要求“单谷”外不作任何要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适用面非常广。 黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在区间[a,b]内适当插入两点a1,a2并计算其函数值。a1,a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。然后再在保留下的区间作同样处理，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而求得极小值的近似值。

黄金分割法要求插入点a1,a2的位置相对于区间[a,b]两端点具有对称性，即 a1=b-λ(b-a) a2=a+λ(b-a) λ为待定常数。

λ λ2 λ(1-λ) a a1 a2 b a3 l-λ λ

l

假设保留来区间[a,a2]，插入a3使得aa3=λ(1-λ)，aa1=λ

2

则 1-λ=λ2

λ=0.618

可见黄金分割法能使相邻两次搜索区间都具有相同的缩短率0.618，所以黄金分割法又称0.618法。

黄金分割法的搜索过程：

1) 给出初始搜索区间[a,b]及收敛精度ε（ε=0.001），将λ赋以值0.618。 2) 按坐标点计算a1,a2的值，并计算相应的函数值f(a1),f(a2)。

3) 根据区间消去法原理缩短搜索区间。为了能用原来的坐标计算公式，须

进行区间名称的代换，并在保留区间中计算一个新的试验点及其函数值。 4) 检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近，如果条件不满足则

返回步骤2.

5) 如果条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的函数值。

2. 黄金分割法的程序框图如图所示

开始 给定a，b，ε λ=0.618 a1=b-λ(b-a) y1=f(a1) a2=a+λ(b-a) y2=f(a2) 是 否 y1>=y2 ？ a=a1,a1=a2,y1=y2 b=a2,a2=a1,y2=y1 a2=a+λ(b-a) a1=b-λ(b-a) y2=f(a2) y1=f(a1) 是 否 |(b-a) /b|<ε和|(y2-y1)/y2|<ε？ a*=(a+b)/2 结束

例3-1：

对函数f(a)= a2+2a，当给定搜索区间-3≤a≤5时，试用黄金分割法求极小点a*。

C语言编程，程序如下： #include #include #define P 0.618 double f(double a); int main() { double a,b,a1,a2,y1,y2,c=0.001; int k=1;a=-3;b=5; a1=b-P*(b-a); a2=a+P*(b-a); y1=f(a1); y2=f(a2); do { if(y1>=y2) { a=a1; a1=a2; y1=y2; a2=a+P*(b-a); y2=f(a2); } else { b=a2; a2=a1; y2=y1; a1=b-P*(b-a); y1=f(a1); } k++; } while(fabs((b-a)/b)>=c||fabs((y2-y1)/y2)>=c); a=(a+b)/2; printf(\用黄金分割法求得极小点： a=%.5lf\\n\ printf(\所得极小点相对应的函数值： y=%.5lf\\n\ printf(\该函数所需迭代次数为：%d\\n\ return 0; }

double f(double a) { double y; y=a*a+2*a; return y; }

3. 程序运行结果：