2016 年中国科学技术?学?主招?数学试题
1. 32016 除以 100 的余数为
．
解
21．
由于 32016 = 91008 = (10 ? 1)1008 ，有
1007
32016 ≡ (?1)1008 + C1· (?1) · 10 (mod 100), 1008
于是 32016 ≡ 21 (mod 100)．
z1
2. 复数 z , z 的值是 ． 1 2 满? |z 1 | = 2，|z 2 | = 3，|z 1 + z 2 | = 4，则
z 2
√ 1 15 解 i． ±6 6
z1
设复数 z1 , z2 , z1 + z2 在复平面内的对应点分别为 A, B, C ，则四边形 OAC B 构成平?四边形．复数
z 2
2
的模为 ，接下来求它的辐角．
3
y
A C B
O x
在 △OAC 中应用余弦定理，有
cos A = 22 + 32 ? 42
2 · 2 · 3
1
= ? ,
4
1
于是 cos ∠AOB = ，进?可得
4
? √ ?√
z1 2 1 15 1 15
i = ± i.= ± 4 6 6 z2 3 4
3. ? S(A) 表?集合 A 的所有元素之和，且 A ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，S(A) 能被 3 整除，但不能被 5 整除，则符合条件的?空集合 A 的个数是 解
70．
．
1
将集合 A 划分为
A1 = {1, 4, 7}, A2 = {2, 5, 8}, A3 = {3, 6},
于是使得 S(A) 能被 3 整除的非空集合 A 的个数有
[
3 2 1 2 2 2 ] 2
(C0 + C)+ (C)+ (C)· 2? 1 = 87.3 3 3 3
接下来考虑 S(A) 能被 15 整除的非空集合 A 的个数，此时 S(A) = 15 或 S(A) = 30． (1) S(A) = 15．此时按最?元素分别为 8, 7, 6, 5 分类，分别有 5, 4, 3, 1 个，共计 13 个． (2) S(A) = 30．此时只需要考虑 S(A) = 6 的情形，共有 4 个． 综上所述，符合条件的非空集合 A 的个数为 87 ? 13 ? 4 = 70．
4. 已知 △ABC 中，sin A + 2 sin B cos C = 0，则 tan A 的最?值是 √3 解 ．
3 由 sin A = sin(B + C ) = sin B cos C + cos B sin C ，得
于是
．
3 sin B cos C + cos B sin C = 0, 即 3 tan B + tan C = 0.
√ 2 tan B2 3tan B + tan C
tan A = ? tan(B + C ) = ? ==? ,3 1 ?tan B · tan C 1 + 3 tan2 B 1 + 3 tan B tan B
√ √ √ 3 3 3 时取得．因此 tan A 的最?值为 ． , tan C = ?等号当 tan B =
3 3 5. 若对任意实数 x 都有 |2x ? a| + |3x ? 2a| ? a2 ，则 a 的取值范围是 ．
? ò1 1
解 ? , ． 3 3
? ?
2a 2a |a|处取得最小值 f = ，于是解不等式 易知函数 f (x) = |2x ? a| + |3x ? 2a| 在 x = 3 3 3
|a| 1 1 2 ? a , 得 ? ? a ? .3 3 3
? ò
1 1
因此 a 的取值范围是 ? , ．
3 3
( π π )6. 若 a ∈ , ，b ∈ (0, 1)，x = (sin a)logb sin a ，y = (cos a)logb cos a ，则 x
4 2 解
y(填 >, =, <)．
>．
取对数，可得
2
ln2 cos a lnsin a
ln x = ,, ln y =ln b ln b
?
2
lnsin a ln2 cos a
> ,ln b sin a > cos a ? 0 > ln sin a > ln cos a ? ln2 sin a < ln2 sin b ? ln b 2
因此 ln x > ln y，从? x > y．
3
7. 梯形 ABC D 中 AB ∥ C D，对?线 AC, BD 交于 P1 ，过 P1 作 AB 的平?线交 BC 于点 Q1 ．AQ1 交BD 于 P2 ，过 P2 作 AB 的平?线交 BC 于点 Q2 ，· · · ．若 AB = a，C D = b，则 Pn Qn =
(?
a, b, n 表?)． 解
ab
． a + bn
如图．
D
C
P1 P2 Q1 Q2 · · · B
1 1 1 = + , xn xn?1 a
A 设 Pn Qn = xn (n ∈ N)，则 x0 = C D = b，且
1 n 1 ab = + ，即 xn = (n ∈ N)． 于是可得
a + bn xn a x 0 8. 数列 {an } 中 an 是与 n 最接近的整数，则解
444 ． 5
√√ 2016 ∑ 1 n=1 an
= ．
?ò
√1
记 k = round(n)，则有 k = n + ，即
2
√1 1 1 k ? n + < k + 1, 也即 k2 ? k + ? n < k2 + k + ,2 4 4
因此 a1 , a2 , · · · , a2016 为
1, 1 , 2, 2, 2, 2, · · · , k, k, · · · , k, · · · , 44, 44, · · · , 44, 45, 45, · · · , 45,
2个4个
2k个
88个
36个
进?可得
2016∑ n=1
1
= a n
44 ? ∑k=1
?
11 444 ·2k + ·36 = . k 45 5
2 2 2a b c 3
9. 已知 a, b, c > 0，a + b + c = 3，求证： √+ √? ． √+ b + cac + ab 2a + bc
解 由均值不等式，有
2∑2a , LH S ?
2a + b + c cyc
再由柯西不等式，有
∑
2(a + b + c)2 3
= , ?2a + b + c 4(a + b + c) 2 cyc
2a2
因此原不等式得证．
4