角速度与欧拉角姿态坐标导数间的关系
本节将介绍定点运动刚体的角速度与姿态坐标导数间的关系。
在4.1.3节已经指出，时间t刚体的角速度矢量(4.1-12)描述了在非常小的时间间隔角
到达时刻
的连体基
是平均角速度矢量的极限。后者的定义式
转过一次转动
内，由时刻t连体基绕一次转动矢量
的变化过程。
根据4.1.2节关于描述姿态的欧拉角的定义，上述过程也可以认为连体基有限角??，再绕基达时刻
的连体基
的基矢量
转过有限角??，最后绕基
的基矢量
先绕基矢量转过
转过有限角??，到
。故平均速度的定义式(4.1-12)可表为
代入绝对角速度的定义式(4.1-13)
(4.1-35)
由定轴转动的角速度的定义式(3.3-2)和图4-4所示，基相对于基
的角速度矢量分别为
相对于基、基相对于基和基
，，
(4.1-36)
故由角速度叠加原理式(4.1-33)也可得到上式。由式(4.1-36)，式(4.1-35)也可表为
(4.1-37)
基矢量、和在各自连体基
的坐标阵分别为
，，
(4.1-38)
由式(1.3-13) 与(1.1-18)，和在连体基
上的坐标阵为
，
将式(4.1-38)和式(4.1-3)与(4.1-4)代入上式，有
，
(4.1-39)
刚体定点运动的欧拉运动学方程
令角速度矢量
在连体基
的坐标阵记为
(4.1-40)
考虑到式(4.1-38)至 (4.1-40)，经整理，矢量式(4.1-37)在连体基
的坐标式可表为
(4.1-41)
上式给出了角速度矢量得
在连体基的坐标阵与欧拉姿态坐标及其导数间的关系。由上式可解
(4.1-42)
这是以欧拉姿态坐标为变量的一阶微分方程，称为刚体定点运动的欧拉运动学方程。在方程中，角速度矢量在连体基
的三个坐标为方程的参变量。当它们的时间历程给定后，通过对方程组
(4.1-42)进行积分，可得到欧拉姿态坐标的时间历程。由式(4.1-42)可知，章动角??不能为零。
上述的推导过程同样可在参考基上进行。将角速度矢量在连体基
的坐标阵记为
(4.1-43)
角速度矢量在连体基
的坐标阵与欧拉姿态坐标及其导数间的关系为
(4.1-44)
相应的运动学方程为