中南大学微积分试题
一. 填空: 1. 2.
ex?b已知lim??，则a?_____, b?_____。
x?0(x?a)(x?1)x2?ax?b?2，则a?_____, b?_____。 已知limx?2x2?x?2二. 计算题:
x2?6x?81. lim； x?4x2?5x?4 2.lim(x2?x?x2?x)；
x???3 limx?13x?1； x?1lim(4. n??1?2???nn?)；
n?22N5. lim?1。
N??n?11?2???n三. 利用极限准则证明以下极限存在，并求极限。
limn(1. n??111????)； n2??n2?2?n2?n? 2. 设x1=10，xn?1?6?xn，(n?1,2,?)。试证数列{xn}的极限存在，并求此极限。 四. 求下列极限:
2sinx?sin2x； 3xsinmx2. lim(m,n为整数)； x??sinnxcos(narccosx)3. lim(n为奇数)； x?0x1. limx?0
[cosn?1?cosn]； 4. nlim???5. limsin(?n2?1)。
n???x2?1x2()； 6.limx??x2?17.lim(sinx)tanx； ?x?2(sin?cos)x。 8.limx??1x1x2.6 函数的连续性
一. 研究下列函数的连续性，并指出间断点类型: 1. f?x??sgnx； 2. g?x??x??x?；
1111)(?)； xx?1x?1x14.y?cos2。
x3. f?x??(??ex,x?0二. 适当选取a, 使函数f(x)??连续。
?a?xx?0三. 证明方程x3?px?q?0(p?0)有且只有一个实根。 四. 求下列极限:
1?x1. lim()x?12?x1?x1?x；
1x(arctanx)2. xlim???12cos；
(cosx)x。 3. limx?02.7 无穷大与无穷小
一. 求下列量的等价无穷小量(x?0): 1. n1?x?1
二. 求下列量的等价无穷大量: 1. 2.
x?x?x(x???)；
x?1(x?1)。 2x?2x?3三. 当x?0时，下面等式成立吗？ 1.x?o(x2)?o(x3)；
o(x2)?o(x)； 2.x 3. o(x)?o(x2)。 四. 当x??时，若
11?o()，则求常数a,b,c。 2ax?bx?cx?1五. 已知f(x)?a(x?1)2?b(x?1)?c?x2?3是x趋于1时(x?1)2的高阶无穷小，求常数a,b,c。