第二章 矩阵补充习题
1．已知对于n阶方阵A，存在自由数k，使得A?0，试证明矩阵E–A可逆，并写出其逆矩阵的表达式（E为n阶单位阵）．
【详解】 由代数公式1-ak?(1?a)(1+a+?+ak-1)以及A与E可交换，有
kE-Ak?(E?A)(E+A+??Ak?1)，而Ak?0
故有(E?A)(E+A+??Ak?1)?E 可知E–A可逆，且有
-1（E-A）?E+A+??Ak?1．
2．设A为n阶非奇异矩阵，?为n维列向量，b为常数．记分块矩阵
?EP??T*???A*
0??A，Q???TA??????，
b?其中A是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵． (1) 计算并化简PQ；
(2) 证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是?A??b．
【分析】 本题的关键是对于含A的计算或证明题，首先应联想到关系式
*
T?1AA*?A*A?AE．另外，在进行矩阵乘法运算中要注意哪些是矩阵，哪些是向量，哪些
是数，左乘还是右乘．
【详解】 （1）因AA?AA?AE，故
**?EPQ??T*???A?A =??0?（2）由（1）可得 PQ?20??A?TA??????????T*Tb????AA?A?A???
??TA*??bA???． T?1A?b??A????A?b??T?1?A??，
而PQ?P?Q,且P?A?0,，故
1??T?A?． Q?Ab??由此可知，Q?0的充分必要条件为?A??b，即矩阵Q可逆的充分必要条件是
T?1?TA?1??b．
【评注】 本题综合考查了矩阵乘法运算、矩阵乘积行列式的性质以及伴随矩阵的性质．要特别注意重要公式：AA*?A*A?AE，且A可逆时，有
A?AA,?A*?1*?1?AA**?1?1． ?,A?A?A?,A?AA
3．设A和B均为n?n矩阵，则必有
(A) A?B?A?B. (B) AB=BA.
(C) AB?BA. (D) (A?B)?1?A?1?B?1. 【 】 【详解】 矩阵的乘法运算不满足交换律，因此一般AB?BA,但AB?AB，而行列式是数，可交换，于是有AB?AB?BA?BA，可见应选(C).
对于(A), (D)，主要考查行列式和矩阵的运算性质，均可通过反例说明不成立。
?101???nn?14．设A?020，而n?2为正整数，则A?2A? .
????101??【分析】 本题若分别计算出A及Ann?1，再代入A?2A23nn?1求其值，则将问题弄复杂
化了。一般而言，对于一个填空题，可先试算A,A,?,找出规律后，在进行计算。
【详解】 因为
?101??101??202???????2 A?020?020?040?2A，
????????101????101????202??故有 A?2A
5．设n维向量??(a,0,?,0,a),a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵
T A?E???， B?E?nn?1?An?2(A2?2A)?0.
T1??T， a其中A的逆矩阵为B，则a= .
T2T【分析】 这里??为n阶矩阵，而???2a为数，直接通过AB?E进行计算并
注意利用乘法的结合律即可.
【详解】 由题设，有
1??T) a11TTTT =E????????????
aa11TTTT =E????????(??)?
aa1TTT =E???????2a??
a1T =E?(?1?2a?)???E,
a112于是有 ?1?2a??0，即 2a?a?1?0，解得 a?,a??1. 由于A<0 ,故a=-1.
a2 AB?(E???)(E?T
6．已知X=AX+B, 其中
?010??1?1????? A??111， B?20， ????????10?1???5?3??求矩阵X.
【详解】由X=AX+B,，有 (E-A)X=B, 于是X?(E?A)B.
?121??0?1?10????1??1 而 (E?A)?10?1=?321，
???3????0?11???102???121??1?1??3?1??01??????故 X?(E?A)?1B=?32120?20.
?????3???5?3????1?1???0?11???
7． 设
?a11?a21 A???a31??a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14??a14?aa24??, B??24?a34a34???a44??a44a13a23a33a43a12a22a32a42a11?a21??, a31??a41??0?0? P1??0??1其中A可逆，则B0100?100101??1?00??, P2???00???0??0001001000?0??, 0??1?等于
?1(A) A?1P1P2. (B) P1AP2.
?1?1(C) P1P2A. (D) P2AP1. [ ]
【详解】 因为P1是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而P2是交换第二、三列后所得的初等矩阵，于是有 B?AP2P1， 从而
?1?1?1?1?1 B?1?(AP?P?P2P1)1P2A1P2A.
故正确选项为(C).
【评注】 设E为n阶单位矩阵，E(i,j),E(i(k)),E(i,j?i(k))分别是将E交换第i,j两行、第i行乘以非零的k倍、将第i行的k倍加到第j行上去所得到的初等矩阵，则有
1E(i,j)?1?E(i,j), E(i(k))?1?E(i())， E(i,j?i(k))?1?E(i,j?i(?k)).
k对于列变换的情形有类似的结果。
8． 设n阶矩阵A与B等价, 则必有
(A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (B) 当|A|?a(a?0)时, |B|??a.
(C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0. [ ] 【分析】 对A通过一系列初等变换后得矩阵B,则A,B等价. 因此矩阵A与B等价的充要条件是: r(A)?r(B)或存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=B.
【详解】因为当|A|?0时, r(A)?n, 又 A与B等价, 故r(B)?n, 即|B|?0, 故选(D).
9. 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第
?110???2列得C，记P??010?，则
?001???（Ａ）C?PAP. （Ｂ）C?PAP.
?1?1（Ｃ）C?PAP. （Ｄ）C?PAP. 【 】 【详解】由题设可得
TT?110??1?10??110??1?10?????????B??010?A, C?B?010???010?A?010?，
?001??001??001??001??????????1?10????1?1而 P??010?，则有C?PAP.故应选（Ｂ）.
?001???10. 设矩阵A=(aij)3?3 满足A?A，其中A是A的伴随矩阵，A为A的转置矩阵. 若a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为
*T*T(A)
13. (B) 3. (C) . (D)
333. [ ]
【分析】 题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：
AA*?A*A?AE..
**【详解】 由A?A及AA?AA?AE，有aij?Aij,i,j?1,2,3，其中Aij为aij的
*T代数余子式，且AA?AE?AT2?A?A?0或A?1
23 而A?a11A11?a12A12?a13A13?3a11?0，于是A?1，且a11?3. 故正确选项3为(A).
【评注】 涉及伴随矩阵的问题是常考题型，只需注意到两个重要思路：一是用行列展开定理，另一是用公式：AA?AA?AE.
11． 设A是m?n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则
(A) r?r1． (B) r?r1． (C) r?r1． (D) r与r1的关系由C而定． 【 】
【分析】 利用左乘或右乘可逆矩阵不改变被乘矩阵的秩即得结果．
【详解】 由B=AC知r1?秩(A)?r,又B?AC两边同时右乘C，得A?BC，于是r?秩(B)?r1，从而有r?r1．
?1?1**
12．设矩阵
?k?1 A???1??11k1111k11?1?? 1??k?且秩(A)=3，则k= .
【分析】 由A的秩为3知，A的行列式一定为零，从而可解出参数k. 不过应当注意的是若由A?0得到的参数不唯一，则应将参数代回去进行检验，以便确定哪一个为正确答案，因为使得A?0只是必要条件而非充分条件。
【详解】 由题设秩(A)=3，知必有
k1
111k1111k111?(k?3)(k?1)3?0 1k解得k=1或k=-3. 显然k=1时，秩r(A)=1不符合题意，因此一定有k=-3.
【评注】 在做此类填空题时，排除k=1后可立即得k= -3，不必真的将k= -3代入进行检验。不过若先检验k= -3为正确的时，仍应检验k=1的情形，因为可能两个k值均是正确的。另外，本题也可通过初等变换化A为阶梯形进行分析。