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§9.3 椭圆及其性质
考纲解读
考点 内容解读 1.掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定要求 高考示例 2017天津,20; 常考题型 选择题、 预测热度 1.椭圆的定义及其标准方程 义进行解题 Ⅲ 2.掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程 2016天津,19; 填空题、 2015广东,8; 解答题 2014大纲全国,15 2017课标全国Ⅰ,12; ★★☆ 1.掌握椭圆的几何性质(如图形、范2017浙江,2; 围、对称性等),并会熟练运用 2.椭圆的几何性质 2.理解椭圆离心率的定义,并会求椭2016课标全国Ⅲ,12; 圆的离心率 2015课标Ⅰ,5 1.掌握直线和椭圆位置关系的判断方法 3.直线与椭圆的位置关系 能通过直线与椭圆位置关系解答相应问题
分析解读
从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为5分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.
2.理解“整体代换”思想的含义,并Ⅱ 2017北京,19; 2016课标全国Ⅱ,21; 2016四川,20; 2015北京,20; 2014陕西,20 选择题、 填空题、 解答题 ★★★ 解答题 Ⅲ 2016课标全国Ⅰ,5; 选择题、 填空题、 ★★★
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1??2
(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.
22又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0. 11
又因为0 22 1 (2)(i)依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为. ??????(2??-2)??3??(2??-2)??3??3+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为 , .由已知|FQ|=c,有2??????+2??+2??+2??+22由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为 2 (2??-2)??3??23??243 +c + = ,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为. ??+2??+2234(ii)由a=2c,可得b= 3c, ??2??2 +=1. 4??23??2故椭圆方程可以表示为 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 3??-4??+3??=0, 消去y,整理得7x+6cx-13c=0, 由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 ??2??2 +=1,222 2 4??3?? 解得x=- 13??3?? (舍去),或x=c.因此可得点P ??, ,进而可得|FP|= (??72+??)2+ 3??25??5??3?? =,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c. 2222由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP. 3??39??127??275??275??227??2 3=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整248232323232 因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|2tan∠QFN=理得c2=2c,又由c>0,得c=2. ??2??2 +=1. 1612 所以,椭圆的方程为 五年高考 考点一 椭圆的定义及其标准方程 1.(2015广东,8,5分)已知椭圆+A.2 B.3 C.4 D.9 ??2??2 =1(m>0)的左焦点为25??2F1(-4,0),则m=( ) 答案 B 2.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若 3??2??2???? 3△AF1B的周长为4 3,则C的方程为( ) A.+=1 C.+=1 答案 A 3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= . 答案 12 4.(2016天津,19,14分)设椭圆2+=1(a> 3)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率. ??3|????||????||????|(1)求椭圆的方程; (2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率. ??2??2 1 1 3?? ??2??2 94 ??2??2128??2??232B.+y=1 D.+=1 ??2??2124 ??232 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 解析 (1)设F(c,0),由 2 2 2 2 113??113??+=,即+=,可得|????||????||????|??????(??-??) 2 a-c=3c, 222 又a-c=b=3,所以c=1,因此a=4. 所以,椭圆的方程为+=1. (2)设直线l的斜率为k(k≠0), 则直线l的方程为y=k(x-2). 设 ??2 B(xB,yB),由方程组 4 2 2 2 ??2??243 =1,消去y, ??=??(??-2) 2 + ??23 整理得(4k+3)x-16kx+16k-12=0. 解得x=2,或x= 8??2-6 24??+3 ,由题意得xB= 8??2-6 24??+3 ,从而yB= -12?? 24??+3 . 12?? 9-4?? 由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有 ????=(-1,yH), ????= 2, 4??2-912??????2 4??+34??2+3 9-4??2 . 12?? . 2???? =0,所以由BF⊥HF,得???? 因此直线MH的方程为y=-x+1 ?? 4??2+34??2+3 +=0,解得yH= 9-4??2 . 12?? ??=??(??-2), 设M(xM,yM),由方程组 19-4??2消去y, ??=-x+ ?? 12?? 解得xM= 20??2+9 12(??2+1) . 2 222 在△MAO中,∠MOA=∠MAO?|MA|=|MO|,即(xM-2)+????=????+????,化简得xM=1,即 20??+9 22 12(??+1) =1,解得k=-,或k=. 4 4 6 6所以,直线l的斜率为-或. 4 4 6 6 5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1. (1)若|PF1|=2+ 2,|PF2|=2- 2,求椭圆的标准方程; (2)若|PQ|=λ|PF1|,且≤λ<,试确定椭圆离心率e的取值范围. 3 443??2??2???? 解析 (1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+ 2)+(2- 2)=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此 2c=|F1F2|= |????1|2+|P??2|2= (2+ 2)2+(2- 2)2=2 3,即c= 3,从而b= ??2-??2=1. 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 故所求椭圆的标准方程为+y=1. 2 ??24 (2)如图,连接QF1,由PF1⊥PQ,|PQ|=λ|PF1|,得 |QF1|= |????1|2+|PQ|2= 1+??2|PF1|. 由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而 |PF1|+|PQ|+|QF1|=4a. 于是(1+λ+ 1+??2)|PF1|=4a, 解得|PF1|=4??1+??+ 1+??2, 故|PF2|=2a-|PF1|=2??(??+ 1+??2-1)1+??+ 1+??2. 由勾股定理得 |PF1|+|PF2|=|F1F2|=(2c)=4c, 2 2 2 2 2 2 从而 4??1+??+ 1+??22 + 2??(??+ 1+??2-1)1+??+ 1+??22 =4c, 2 两边除以4a,得 4(??+ 1+??2-1)2 (1+??+ 1+??2)2(1+??+ 1+??2)2+=e. 2 若记t=1+λ+ 1+??2,则上式变成 e= 2 4+(??-2)21121 =8 - +. ??42??24 11 1 1 2 由≤λ<,并注意到t=1+λ+ 1+??2关于λ的单调性,得3≤t<4,即<≤.进而 434??32923 6.(2015天津,19,14分)已知椭圆2+2=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为. 5??2??2 ???? 535 2 5(1)求直线BF的斜率; (2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|. (i)求λ的值;