第一章 信号的分类与描述
1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。
x(t) A … ?T0 20 -A T0 2T0 … t ?T0 图1-4 周期方波信号波形图
解答：在一个周期的表达式为
T0??A (??t?0)??2x(t)??
? A (0?t?T0)??2积分区间取（-T/2，T/2）
T02T?02T020
1cn?T0 =j?x(t)e?jn?0t1dt=T0?0T?02?Ae?jn?0t1dt+T0?Ae?jn?0tdt
A(cosn?-1) (n=0, ?1, ?2, ?3, ?)n??所以复指数函数形式的傅里叶级数为
x(t)?n????cnejn?0t??j1(1?cosn?)ejn?0t，n=0, ?1, ?2, ?3, ?。 ??n???nA?
A?c??(1?cosn?)?nI (n=0, ?1, ?2, ?3, ?) n????cnR?0
cn?cnR2?cnI2?2A n??1,?3,?,? A??(1?cosn?)??n? n??0 n?0,?2,?4,?6, ??
φn?arctancnIcnR?π??2n??1,?3,?5,???π??n??1,?3,?5,?
2?n?0,?2,?4,?6,??0??没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
1
|cn| 2A/π 2A/3π -3ω0 -ω0 ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 3ω0 5ω0 ω φn π/2 ω0 -5ω0 -3ω0 -ω0 -π/2 相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
3ω0 5ω0 ω 2A/5π -5ω0 幅频图
1-2 求正弦信号x(t)?x0sinωt的绝对均值μx和均方根值xrms。
2x1T1T解答：μx??x(t)dt??x0sinωtdt?0T0T0T?T20T2x04x02x02?sinωtdt??cosωt0?
TωTωπ
xrms2x01T21T22?x(t)dt?x0sinωtdt???00TTT?T0x1?cos2ωtdt?0 22
1-3 求指数函数x(t)?Ae?at(a?0,t?0)的频谱。 解答：
X(f)??x(t)e????j2?ftdt??Aee0??at?j2?fte?(a?j2?f)tdt?A?(a?j2?f)?0?AA(a?j2?f) ?2a?j2?fa?(2?f)2
X(f)?ka?(2?f)22
?(f)?arctanImX(f)2?f??arctan
ReX(f)a|X(f)| A/a φ(f) π/2 0 0 f -π/2 f 单边指数衰减信号频谱图
1-8 求正弦信号x(t)?x0sin(ωt?φ)的均值μx、均方值ψx和概率密度函数p(x)。 解答： (1)μx?lim2
1T1x(t)dt?T??T?0T0?T00x0sin(ωt?φ)dt?0，式中T0?2π—正弦信号周期 ω2
1T21(2)ψ?lim?x(t)dt?T??T0T02x?T00x02x0sin(ωt?φ)dt?T022?T00x021?cos2(ωt?φ) dt?22(3)在一个周期内
Tx0?Δt1?Δt2?2Δt
P[x?x(t)?x?Δx]?limTxTx02Δt ??T??TT0T0
p(x)?limP[x?x(t)?x?Δx]2Δt2dt1 ?lim??22Δx?0Δx?0ΔxT0ΔxT0dxπx0?xx(t) Δt Δt x+Δx x t 正弦信号
第二章 测试装置的基本特性
2-1 进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为90.9nC/MPa，将它与增益为0.005V/nC的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为20mm/V。试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为3.5MPa时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？ 解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即 S=90.9(nC/MPa)?0.005(V/nC)?20(mm/V)=9.09mm/MPa。 偏移量：y=S?3.5=9.09?3.5=31.815mm。 2-2 用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s、2s和5s的正弦信号，问稳态响应幅值误差将是多少？
解：设一阶系统H(s)?11，H(?)? ?s?11?j??
A(?)?H(?)?11?(??)2?1，T是输入的正弦信号的周期
2??21?()T稳态响应相对幅值误差??A????1?100%，将已知周期代入得
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?58.6%T?1s????32.7%T?2s
?8.5%T?5s? 2-3 求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t?45?)通过传递函数为H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。
解：H(?)?11，A(?)?，?(?)??arctan(0.005?)
21?j0.005?1?(0.005?) 该装置是一线性定常系统，设稳态响应为y(t)，根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得
到 y(t)=y01cos(10t+?1)+y02cos(100t?45?+?2) 其中y01?A(10)x01?11?(0.005?10)12?0.5?0.499，?1??(10)??arctan(0.005?10)??2.86?
y02?A(100)x02?1?(0.005?100)2?0.2?0.179，?2??(100)??arctan(0.005?100)??26.57?
所以稳态响应为y(t)?0.499cos(10t?2.86?)?0.179cos(100t?71.57?)
2-6 试说明二阶装置阻尼比?多采用0.6~0.8的原因。 解答：从不失真条件出发分析。?在0.707左右时，幅频特性近似常数的频率范围最宽，而相频特性曲线最接近直线。 2-9 试求传递函数分别为1.5/(3.5s + 0.5)和41?n2/(s2 + 1.4?ns + ?n2)的两环节串联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）。 解：
H1(s)?K11.53??，即静态灵敏度K1=3
3.5s?0.57s?17s?1
41?n2K2?n2，即静态灵敏度K2=41 H2(s)?2?222s?1.4?ns??ns?1.4?ns??n因为两者串联无负载效应，所以
总静态灵敏度K = K1 ? K2 = 3 ? 41 = 123
第三章 常用传感器与敏感元件
3-2 试举出你所熟悉的五种机械式传感器，并说明它们的变换原理。
解答：气压表、弹簧秤、双金属片温度传感器、液体温度传感器、毛发湿度计等。
3-3 电阻丝应变片与半导体应变片在工作原理上有何区别？各有何优缺点？应如何针对具体情况来选用？ 解答：电阻丝应变片主要利用形变效应，而半导体应变片主要利用压阻效应。 电阻丝应变片主要优点是性能稳定，现行较好；主要缺点是灵敏度低，横向效应大。 半导体应变片主要优点是灵敏度高、机械滞后小、横向效应小；主要缺点是温度稳定性差、灵敏度离散度大、非线性大。
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选用时要根据测量精度要求、现场条件、灵敏度要求等来选择。
第四章 信号的调理与记录
4-1 以阻值R=120?、灵敏度Sg=2的电阻丝应变片与阻值为120?的固定电阻组成电桥，供桥电压为3V，并假定负载电阻为无穷大，当应变片的应变为2??和2000??时，分别求出单臂、双臂电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。
解：这是一个等臂电桥，可以利用等比电桥和差特性表达式求解。
Uo?1(?R1??R2??R3??R4)Ue 4R?=2??时：
1?R1Ue?Sg?Ue??2?2?10?6?3?3?10?6V?3μV 4R41?R1Ue?Sg?Ue??2?2?10?6?3?6?10?6V?6μV 双臂输出电压：Uo?2R2单臂输出电压：Uo??=2000??时：
1?R1Ue?Sg?Ue??2?2000?10?6?3?3?10?3V?3mV 4R41?R1Ue?Sg?Ue??2?2000?10?6?3?6?10?3V?6mV 双臂输出电压：Uo?2R2单臂输出电压：Uo? 双臂电桥较单臂电桥灵敏度提高1倍。
4-3 为什么在动态应变仪上除了设有电阻平衡旋钮外，还设有电容平衡旋钮
解答：动态电阻应变仪采用高频交流电给电桥供电，电桥工作在交流状态，电桥的平衡条件为 Z1Z3=Z2Z4?|Z1||Z3|=|Z2||Z4|，?1?3=?2?4 由于导线分布、各种寄生电容、电感等的存在，光有电阻平衡是不能实现阻抗模和阻抗角同时达到平衡，只有使用电阻、电容两套平衡装置反复调节才能实现电桥阻抗模和阻抗角同时达到平衡。
4-11已知低通滤波器的频率响应函数
H(?)?1
1?j??式中?=0.05s。当输入信号x(t)=0.5cos(10t)+0.2cos(100t-45?)时，求其输出y(t)，并比较y(t)与x(t)的幅值与相位有何区别。 解：A(?)?11?(??)2，?(?)??arctan??
A(10)?11?(0.05?10)12?0.894， ?(10)??arctan(0.05?10)??26.6?
A(100)?1?(0.05?100)2?0.196，?(100)??arctan(0.05?100)??78.7?
y(t)=0.5?A(10)cos[10t+?(10)]+0.2?A(100)cos[100t-45?+?(100)] =0.447 cos(10t-26.6?)+0.039cos(100t-123.7?)
比较：输出相对输入，幅值衰减，相位滞后。频率越高，幅值衰减越大，相位滞后越大。
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第五章 信号处理初步
5-6 已知信号的自相关函数为Acos??，请确定该信号的均方值?x2和均方根值xrms。 解：Rx(?)=Acos?? ?x2= Rx(0)=A
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