平面向量 重难点解析
课文目录
2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例
目标：
1、理解和掌握平面向量有关的概念；
2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；
3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；
4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用； 重难点：
重点：向量的综合应用。
难点：用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。
【要点精讲】
1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法：
????①用有向线段表示-----AB(几何表示法)； ??②用字母a、b等表示(字母表示法)；
③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：
???分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平
???ay面向量基本定理知，有且只有一对实数x、，使得?xi?yj，(x,y)叫做向量a的（直
角）坐标，记作a?(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特
?????22别地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0)。a?x?y；若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则
AB??x2?x1,y2?y1?，
3.零向量、单位向量：
AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2 ①长度为0的向量叫零向量，记为0；
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：4.平行向量：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
a|a|就是单位向量）
②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.
???????????????0,b与a同向方向---?????????????性质：a//b(b?0)?a??b(?是唯一）?????0,b与a反向
???长度---|a|??b?????????? a//b(b?0)?x1y2?x2y1?0 （其中 a?(x1,y1),b?(x2,y2)）
5.相等向量和垂直向量：
①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为???2
?????性质：a?b?a?b?0
?????? a?b?x1x2?y1y2?0 （其中 a?(x1,y1),b?(x2,y2)）
6.向量的加法、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则：
?????? AC?a?b（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）
??????DB?a?b
?加法???首尾相连三角形法则?
减法???终点相连,方向指向被减数?
?????????????????????——加法法则的推广： ABn?AB1?B1B2????Bn?1Bn
?????????????????即n个向量a1,a2,??an首尾相连成一个封闭图形，则有a1?a2????an?0 ????????②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a ?b= a+ (?b)；
????差向量的意义： OA= a, OB=b, 则BA=a? b
????③平面向量的坐标运算：若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，???a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)。
④向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) ⑤常用结论：
????1????????（1）若AD?(AB?AC)，则D是AB的中点
2?????????????（2）或G是△ABC的重心，则GA?GB?GC?0
7．向量的模：
?????1、定义：向量的大小，记为 |a| 或 |AB|
2、模的求法：
??22若 a?(x,y)，则 |a|?x?y ????22若A(x1,y1),B(x2,y2)， 则 |AB|?(x2?x1)?(y2?y1) 3、性质：
??22?2?2（1）|a|?a； |a|?b(b?0)?|a|?b （实数与向量的转化关系）
???2?2（2）a?b?|a|?|b|，反之不然
??????（3）三角不等式：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
??????（4）|a?） b|?|a||b| （当且仅当a,b共线时取“=”
????????????即当a,b同向时 ，a?b??|a||b| b?|a||b|； 即当a,b同反向时 ，a?（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，
?2?2??2??2即2|a|?2|b|?|a?b|?|a?b|
??8．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa
??（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0；
??????????????（3）运算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb
????交换律：a?b?b?a;
???????分配律：(a?b)?c?a?c?b?c
??? (?a)2b=?(a2b)=a2(?b);
??????——①不满足结合律：即(a?b)?c?a?(b?c)
?2???????aa②向量没有除法运算。如：a?b?c?b?a?c，????都是错误的
a?bb??（4）已知两个非零向量a,b，它们的夹角为?，则
????a?b =|a||b|cos?
??????坐标运算：a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a?b?x1x2?y1y2 ?????（5）向量AB?a在轴l上的投影为：
????︱a︱cos?， （?为a与n的夹角，n为l的方向向量）
???a?n?n//其投影的长为AB?? （?为n的单位向量）
|n||n|????（6）a与b的夹角?和a?b的关系：
???? （1）当??0时，a与b同向；当???时，a与b反向
??????b?0b?0?a??a?? （2）?为锐角时，则有???； 为钝角时，则有 ????????a,b不共线?a,b不共线9．向量共线定理：
???向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=
λa。
10．平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有
??且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2。
(1)不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量。 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1) 11. 向量a和b的数量积：
①a2b=| a|2|b|cos?，其中?∈[0，π]为a和b的夹角。 ②|b|cos?称为b在a的方向上的投影。
③a2b的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。
??????????????④若a =（x1，y1）, b=（x2，y2）, 则a?b?x1x2?y1y2
⑤运算律：a2 b=b2a, (λa)2 b=a2(λb)=λ（a2b）， （a+b）2c=a2c+b2c。
??a?b⑥a和b的夹角公式：cos?=??＝
a?b???2222
⑦a?a?a?|a|=x+y，或|a|=
x1x2?y1y2x1?y?22221
22x?y222x?y?a⑧| a2b |≤| a |2| b |。
(x1?x2?x3y1?y2?y3,)
33??????12.两个向量平行的充要条件：
符号语言：若a∥b，a≠0，则a=λb
?x1??x2坐标语言为：设a=（x1,y1），b=(x2,y2)，则a∥b?(x1,y1)=λ(x2,y2)，即?，
y??y2?1????或x1y2-x2y1=0
在这里，实数λ是唯一存在的，当a与b同向时，λ>0；当a与b异向时，λ<0。
????