A．f′(1) B．不存在 1
C.f′(1) D．以上都不对 3
f?x?－f?a?1
3．设f(x)＝，则lim 等于( )
xx－ax?a1211
A．－ B. C．－2 D.2
aaaa答案：1.D 2.C 3.C 变练演编
f?x0＋4Δx?－f?x0?变式(1)设f(x)在x＝x0处可导，若无限趋近于1，则f′(x0)＝__________.
Δxf?x0－4Δx?－f?x0?
变式(2)设f(x)在x＝x0处可导，若无限趋近于1，则f′(x0)＝__________.
Δxf?x0＋2Δx?－f?x0－2Δx?
变式(3)设f(x)在x＝x0处可导，当Δx无限趋近于0时，所对应
Δx的常数与f′(x0)的关系．
活动设计：学生独立完成，教师将所有发现的结果一一列举，再由学生相互之间交流、评价，最后教师给出正确答案．
1
答案：变式(1)： 41
变式(2)：－ 4
f?x0＋2Δx?－f?x0－2Δx?
变式(3)：当Δx无限趋近于0时，＝4f′(x0)
Δx设计意图
对于函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim
?t?0f?x0＋Δx?－f?x0?Δf
＝lim ，Δx表示的意义
Δx?t?0Δx
是一个尽可能小的改变量，是一个广义的概念．通过变练(就是变式训练)演编(就是让学生试着自己编题)，让全班同学通过交流合作的形式，在辨析中加深对导数概念的理解．
达标检测
1．当自变量x由x0增加到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数?? ( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的变化率 D．在区间[x0，x1]上的导数 2．下列各式中正确的是( ) A．f′(x0)＝lim
?t?0f?x0－Δx?－f?x0?f?x0－Δx?－f?Δx?
B．f′(x0)＝lim
2ΔxΔx?t?0
C．f′(x0)＝lim
?t?0f?x0＋Δx?＋f?x0?f?x0?－f?x0－Δx?
D．f′(x0)＝lim
Δx－Δx?t?03．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a的值为( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3 4．y＝x3－1，当x＝2时，lim
?t?0Δy
＝______. Δx
答案或提示或解答：1.A 2.D 3.A 4.12
课堂小结
本节课通过大量的实例，引出了瞬时速度、瞬时变化率的概念，进而形成了导数的概念．其中探究从平均速度到瞬时速度的过程和方法，从特殊推向一般的思想和方法，以及利用所学知识解决实际问题的思想和方法都具有非常重要的作用．
布置作业
课本习题1.1A2、A3、B1.
补充练习
1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．33 2．设函数f(x)＝mx3＋2，若f′(－1)＝3，则m＝__________.
3．设一物体在t秒内所经过的路程为s米，并且s＝4t2＋2t－3，试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度．
答案：1.C 2.1 3.开始的速度为2米/秒，第5秒末的速度为42米/秒．
设计说明
本节课从变化率入手，通过大量的实验和学生的广泛参与，用形象直观的逼近思想来理解瞬时速度和瞬时变化率，在此基础上再给出导数定义．这样做可以避免学生因未学习极限的概念而影响对导数的认识，可以使学生更直观形象地理解导数概念，同时还能使学生对逼近思想有一定的了解．
教学过程中，从形成导数定义到理解导数内涵都使用了瞬时速度这个具体的物理模型，教学的关键放在了让学生充分经历从平均速度探究到瞬时速度上．整个过程采用的方法都是遵循循序渐进的原则，尊重学生的认知水平和认知规律．另外，本节还选配了一些其他方面的变化率问题，形式丰富的实例有利于学生辨别出它们具有的共同特征，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，从而加深对导数概念的理解．
备课资料
1．求电流强度问题
1设电流通过导线的横截面的电量是Q(t)，它是时间t的函数，求任一时刻t0的电流强度．
思路分析：我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即
电量
电流强度＝. 时间
在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求任一时刻t0的电流强度．我们可通过以下方法得到：
设在t0到t0＋Δt(Δt≠0)这段时间内通过导线的电量是ΔQ＝Q(t0＋Δt)－Q(t0)． ΔQ因此在这段时间内，平均电流强度为I＝.
Δt
易知，Δt取值越小，I就越接近时刻t0的电流强度I.若当Δt→0时，I的极限存在，则平均电流强度I的极限就是时刻t0的电流强度．因此，我们定义：
I＝limI＝lim
?t?0?t?0Q?t0＋Δt?－Q?t0?ΔQ
＝lim . Δt?t?0Δt
2．导数的表达式问题
为了与导数的表达式更吻合，有时我们把x0＋Δx记作x，于是Δx＝x－x0，当Δx→0时，有x→x0，则f′(x0)＝lim
x?x0f?x?－f?x0?
.
x－x0
Δy
的解析式不便于取极限，还需将其变形或Δx
利用导数定义求导数的难点是有一些比值化简，以便于计算．
2证明若f′(x0)存在，则lim
?x?0f?x0＋Δx?－f?x0－Δx?
＝2f′(x0)．
Δx
?x?0
思路分析：已知f′(x0)存在，也即是极限lim
f?x0＋Δx?－f?x0?
存在且等于f′(x0)，只
Δx
要紧扣导数的定义，并把等式的左端化成f(x)在点x0处的导数的形式，该题的证明将容易得到．
证明：lim
?x?0f?x0＋Δx?－f?x0－Δx?
Δx
＝lim
?x?0f?x0＋Δx?－f?x0?＋f?x0?－f?x0－Δx?
Δxf?x0＋Δx?－f?x0?f?x0－Δx?－f?x0?
＋lim Δx－Δx?x?0＝lim
?x?0＝f′(x0)＋f′(x0)＝2f′(x0)．
点评：在导数的结构(定义) lim
?x?0
f?x0＋Δx?－f?x0?
中，函数的增量f(x0＋Δx)－f(x0)与自
Δx
变量的增量Δx是相应的，即自变量有增量Δx时，相应的函数的增量是f(x0＋Δx)－f(x0)，而在上面的极限中，函数的增量f(x0－Δx)－f(x0)所对应的自变量的增量是－Δx(而非Δx)，这一点是至关重要的．因此应该有(易知Δx→0时，－Δx→0)：
?x?0
lim
f?x0－Δx?－f?x0?f?x0－Δx?－f?x0?
＝-lim ＝f′(x0)．
－Δx－Δx?x?0
(设计者：张春生)