第八讲完全平方数
模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9；
性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数； 例1．（1）写出12、22、32、……、202的得数，观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数的个位有什么规律？ n n2 n n2 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 9 19 10 20 （2）根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗？为什么？ （3）进一步判断1000是平方数吗？1004000呢？ 解：（1） n n2 n n2 1 1 11 121 2 4 12 144 3 9 13 169 4 16 14 196 5 25 15 225 6 36 16 256 7 49 17 289 8 64 18 324 9 81 19 361 10 100 20 400 （2）1000不是平方数，1004000也不是平方数。 如果完全平方数末位是0，那么它从个位开始，连续的0的个数一定是偶数个。
例2．（1）10001到11000之间存在哪些数的平方？写出这些数；
（2）非零自然数的平方按大小排列成14916253649……，则第92个位置的数字是。 解：（1）1002=10000，1042=10816，1052=11025，
所以10001到11000之间存在101、102、103、104的平方。 （2）1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15个数字，
100、121、……、直到312=961，一共有22×3=66个数字，前面共有66+15=81个数字， 从322=1024开始，每个平方数有4个数字，32、33、34、35，它们的平方都有4个数字， 81+11=92，所以第92个位置上是342=1156的第三个数字5.
模块二、偶指奇因
性质3：自然数N为完全平方数?自然数N因数的个数为奇数；
性质4：自然数N为完全平方数?自然数N的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。
例3．240乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a的最小值是；b的最小值是。 解：240=24×3×5，乘a是一个完全平方数，a的最小值是3×5=15， 同样240÷15也是一个完全平方数，b的最小值是15.
例4．（1）从1到100这100个自然数中，有奇数个因数的自然数有； （2）从1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有； 解：（1）1到100有奇数个因数的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个； （2）1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有4、9、25、49，共4个。
例5．一个房间有100盏灯，用自然数1、2、3、……、100编号。每盏灯各有一个开关。开始时，所有的灯都不亮，有100个人依次进入房间，第1个人进入房间后，把编号是1的倍数的灯的开关按一下，然后离开；第2个人进入房间后，把编号是2的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到第100个人进入房间后，把编号是100的倍数的灯的开关按一下，然后离开。问：第100个人离开房间后，房间里那些灯还亮着。
解：第1盏灯被按了1下；第2盏灯被按了2下；第3盏灯被按了2下；第4盏灯被按了3下；……，
按这个规律排下去发现每盏灯被按的次数恰好是它们的因数的个数， 平方数的因数有奇数个，其他的数的因数都有偶数个，
在1~100中，完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个数。 所以最后又10盏灯亮着。
模块三、完全平方数的余数性质
性质5：完全平方数除以3只可能余0或1；
完全平方数除以4只可能余0或1； 完全平方数除以8只可能余0、1或4； 完全平方数除以16只可能余0、1、4或9； 例6．（1）1、11、111、1111、……，这些数中有个平方数； （2）1、14、144、1444、14444，……，这些数中有个平方数。 解：（1）由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，
而奇数的平方除以4 余1，偶数的平方能被4整除．
现在这些数都是奇数，除了1 以外，它们除以4的余数都是3， 所以只有1个完全平方数．
（2）共有3个，分别是1，144，1444(38 的平方).
14444=4×3611，14444除以16余12，，后面的各数除以16都与12，因此不可能再有平方数.
随堂练习
1．判断下面有没有平方数？
182、233、284、387、688
解：完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6、9，
所以182、233、387、688不是平方数；
又162=256<284<289=172，所以284不是平方数； 所以这五个数都不是完全平方数。
2．4106是不是平方数？如果是，它是谁的平方；如果不是，那么它介于哪两个平方数之间？ 解：642=4096， 652=4225，所以4106不是平方数，它介于64的平方和65的平方之间。
3．360与正整数a相乘之积为完全平方数，a的最小值为。 解：360=62×2×5，所以a的最小值是10.
4．10000以内的自然数中，有且仅有3个因数的自然数有个。
解：有且仅有3个因数的自然数是质数的平方数，有22=4、32=9、52=25、72=49、……、972=9409，
这样的数有25个。
5．少年宫游乐厅内悬挂着250个彩色灯泡，按1~250编号。它们的亮暗规则是：第1秒，全部灯变亮；第2秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第3秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态；第n秒，凡是编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态；这样继续下去，第250秒时，亮着的灯泡有个。 解：按照这个规律，亮着的灯泡是编号为完全平方数的灯泡，它们的因数有奇数个，所以亮着。 这些数有1、4、9、16、……、225=152，一共15个。