第十三章习 题 解 答
13?1 木制构件中的单元体应力状态如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂线的夹角。试求：
（l）平行于木纹方向的切应力； （2）垂直于木纹方向的正应力。 解： 由图a可知
单位：MPa 15o 1.6 2.0 1.25
?x??2.0 MPa,?y??1.6 MPa,(a)
(b)
习题13?1图
（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力
?x?0 MPa??15???2?1.62?2?1.62??2?1.62cos[2?(?15)]??1.97MPa?
???15??sin[2?(?15)]?0.1MPa（2）垂直于木纹方向的正应力
?75???2?1.62?2?1.62??2?1.62?cos[2?75]??1.527MPa?
?75??sin(2?75)??0.1MPa由图b可知
?x?0,?y?0,?x??1.25 MPa
（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力
??15???xsin2??1.25?sin2(?15)??0.625MPa????15??xcos2???1.25?cos[2?(?15)]??1.08MPa??
（2）垂直于木纹方向的正应力
?75???xsin2??1.25?sin(2?75)?0.625MPa???75??xcos2???1.25?cos(2?75)?1.08MPa??
13?2 已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力
解：（a）已知 ?x?30MPa,?y?10MPa,?x??20 MPa
则由公式可直接得到该斜截面上的应力
10 30 45o 10 67.5o 30 20 60o 50 10 15 60o 30 20 (b)
20 (a) (c)
习题13?2图
(d)
?????x??2y???x??2ycos2???xsin2?30?10230?102?cos(2??4)?20?sin(2?30?102?4)?40MPa????x??2ysin2???xcos2???30MPa,?sin(2??4)?20?cos(2??4
)?10MPa（b）已知 ?则：
x?y?10MPa,?x?20 MPa
?????x??2y???x??2ycos2???xsin2???30?10230?102?cos(2?22.5)?20?sin(2?22.5)?12.93MPa30?102?sin(2?22.5)?20?cos(2?22.5)?21.21MPa??????x??2ysin2???xcos2??（c）已知 ?则：
x?10MPa,?y?20MPa,?x?15 MPa???60?
?????x??2y???x??2ycos2???xsin2???10?20210?202?cos[2?(?60)]?15?sin[2?(?60)]?30.49MPa?????x??2ysin2???xcos2??sin[2?(?60)]?15?cos[2?(?60)]??3.17MPa??10?20220 13?3 已知应力状态如图所示（应力单位为
45o MPa），试用图解法（应力圆）计算图中指定截面的正应力与切应力。
13?4 已知应力状态如习题13?2图所示（应力单位为MPa），计算图示应力状态中的主应力及方位。
10 15 60o 40 20 (a)
习题13?3图
(b)
解：（a）已知 ?x?30MPa,?y?10MPa,?x??20 MPa
则由公式可直接得到该单元体的主应力
主应力为：
因为
，主应力
对应的方位角为
。
13?5 试确定图示应力状态中的主应力及方位、最大切应力（按三向应力状态考虑）。图中应力的单位为MPa。 解：
20 40 20 20 40 40 30 20 20 (a) (b) 习题13?5图
(c)
（a）已知 ?x?40MPa,?y?20MPa,?x?20 MPa
则由公式可直接得到该单元体的主应力
主应力为：
因为
，主应力
对应的方位角为
。
（b）已知 ?x?40MPa,?y??20MPa,?x??40 MPa
则由公式可直接得到该单元体的主应力
主应力为：
因为
，主应力
对应的方位角为
??30MPa,。
?x?20 MPa
（c）已知 ?x??20MPa,y则由公式可直接得到该单元体的主应力
主应力为：
因为
13?6已知应力状态如图所示（应力单位为MPa），试画三向应力圆，求最大切应力。
，主应力
对应的方位角为
。
ζ η
ζ η (a) (b) 习题13?6图
(c)
解：图a为单向应力状态，图b为纯剪切应力状态，图c为平面应力状态，其应力圆
如图。
最大切应力分别为：
η η η
ζ1 O ζ ζ3 O ζ1 ζ
ζ2 O ζ1 ζ
图a
图b
图c
13?7已知应力状态如图所示，试画三向应力圆，并求主应力、最大切应力（应力单位为MPa）。
η 50 60 70 (a)
习题13?7图 解：图a 为三向主应力状
态
，
，应力圆如图（a）。
图b一方向为主应力，另两方向为纯剪切应力状态，则根据公式可直接得出另两主应力。于是有
其应力圆如图（b）。
13?8图示悬臂梁，承受荷载F = 10KN作用，试求固定端截面上A、B、C三点最大切应力值及作用面的方位。
解：固定端截面的弯矩
,剪
力
。
2m 习题13?8图
截面a点的应力：
F A B C 80 A 40 160 图a
图b
20 (b)
40 70 5060ζ -40 20 O 40 ζ
η