椭圆几条重要性质的应用 椭圆的性质表述了椭圆的曲线特征，在解题中有重要的作用.如果在解题中能抓住问题的实质，利用椭圆的性质，常常能简化解题过程.下面就椭圆的几条重要性质的应用举例分析.
一﹑变量范围的应用
x2y2
椭圆方程2＋2＝1(a＞b＞0)中，|x|≤a,|y|≤b.
ab
x2
例1椭圆＋y2=1与圆(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)有公共点，则r的最大值与最小值分别为
4( )
A.3，
6 3
2
B.3，
6 2
C.2，6 3
D.2，
6 2
?? x＋y2=1 ①1342解：由? 4消去y得r2＝(3x2－8x＋8)＝(x－)2＋，
4433?? (x－1)2＋y2＝r2 ②
42
由于－2≤x≤2，则当x＝－2时，r2的最大值为9，当x＝时，r2的最大值为，
3346
所以r2的最大值为3，当x＝时，r2的最大值为，故选A.
33
点评：本题涉及最值问题，此类问题一般需要建立目标函数，再求函数的最值.但要注
意函数的自变量的范围.上述解法中所涉及的函数的自变量是x，因此x的范围是－2≤x≤2.
二、通径的应用
2b2x2y2
过焦点垂直于坐标轴的直线交椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)于P1P2，则|P1P2|＝，
aba例2设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为
等腰三角形，则椭圆的离心率为_____________.
b2
解析：∵PF1⊥PF2，且△F1PF2为等腰三角形，∴|F1F2|＝|PF2|，则2c＝，
a
∴2ac＝b2＝a2－c2，∴e2＋2e－1＝0，解得e＝2－1.
点评：本题运用了方程的思想求离心率.同时提醒我们，记住一些常用结论，有助于快速解题，如焦点三角形面积公式、定值结论等.这里用到椭圆的通径（即过焦点且垂直于对称轴的弦）.
三、焦半径的应用
椭圆上任一点到焦点的距离为焦半径，当焦点在x轴上时，设椭圆上任一点P(x0,y0)，则|PF1|＝a＋ex0,|PF2|＝a－ex0.
x2y2
例3椭圆＋＝1的两个焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当已知∠F1PF2为钝角，
94点P的横坐标的取值范围为____________．
解：由已知，a＝3，b＝2，∴c＝5，e＝
5， 3
5
x， 3P
设点P的横坐标为xP，则由椭圆焦半径公式|PF1|＝3＋
|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|25
|PF2|＝3－xP，又cos∠F1PF2＝＜0，
2|PF1||PF2|3
935351022
所以|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2＜0，即xP－2＜0，∴xP＜，∴－＜xP＜得解．
9555点评：本题的靓点是以焦点三角形F1PF2为基础，紧紧抓住∠F1PF2是钝角，利用余弦
定理得到一个不等式，再结合焦半径就不难求出点P的横坐标了，真是太妙了．
四﹑中点弦的斜率公式的应用
x2y2
设A(x1，y1),B(x2，y2)是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上不同的两点，M(x0，y0)是弦AB的中
abb2y2x2
点，O为坐标原点，则kAB·kOM＝－2.若椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，则kAB·kOM＝
aaba2
－2. b
例4中心在原点，一个焦点为F1(0，50)的椭圆截直线y＝3x－2所得弦的中点M横坐1
标为，求椭圆的方程.
2
x2y2
解：设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，由F1(50，0)得a2－b2＝50
ab11
由直线的方程得点M(，－)，则kOM＝－1，
22
a2
又已经直线的斜率为3，由性质知3×(－1)＝－2，即a2＝3b2
b由①②解得a2＝75，b2＝25. x2y2
故所求椭圆的方程为：＋＝1.
7525
点评：本题解答如果利用常规法，需要结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式，其过程较为繁琐.同时启示我们：如果涉及到弦的中点及直线的斜率，那么利用此条性质则可以起到简化作用.
②.
①，