《矩阵理论》第一二章 典型例题
一、 判断题
1．A为n阶实对称矩阵， 定义||x?对Rn中的列向量x，||
提示：因为非负性不成立，故结论错误。
2．设A为n阶Hermite矩阵，?1,?2,?,?n是矩阵A的特征值，则||A||?( )
提示：A为n阶Hermite矩阵?||A||m2?||Udiag(?1,?2,?,?n)U||m2
2H22m2T, x则||x||为向量x x A的范数. ( )
??i?1n2i.
?||diag(?1,?2,?,?n)||???i2.
2m2i?1n3. 如果A?Cm?n，且A?0，(AA?)H?AA?, 则||AA?||2?n. ( )
提示：AA为幂等矩阵?AA的特征值为0或1。又A?0,?秩(A)=秩(AA)?1?
???AA??0?1是AA?的特征值?||AA?||2?max(?i((AA?)HAA?))?max?i(AA?)
=1
4. 若设x?R，则||x||2?||x||1?n||x||2. ( ) 提示： ||x||?|x1|?|x2|???|x2|?||x||， ||x1|?|nn2222221?i?1n xi|?|?|xi|?1i?1n?n(?|xi|2)1/2?n||x||2
i?15. 设A?Rm?n的奇异值为?1??2????n，则||A||???i2. ( )
22i?1n6. 设A?Cn?n，且有某种算子范数||?||，使得||A||?1，则||(E?A)?1||?1,
1?||A||其中E为n阶单位矩阵. ( )
提示：
E?(E?A)(E?A)?1?(E?A)?1?A(E?A)?1?(E?A)?1?E?A(E?A)?1? ||(E?A)?1||?||E?A(E?A)?1||?||E||?||A||||(E?A)?1||?
||(E?A)?1||?||E||1 ?1?||A||1?||A||7. 设A?E?2uuH(其中，E为n阶单位矩阵，u?Cn且||u||2?1)，则||A||m2?n
( )
提示：?AH?(E?2uuH)H ?E?(2uuH)H?E?2uuH?A
HHH?E?2uu?2uHu?4uuHuu? AHA?(E?2uHu)(E?2uu)E|2|?trH(AA?) ?||Am n8. 设A?Cn?n为正规矩阵，则矩阵的谱半径r(A)?||A||2. ( )
9.设A?Cn?n可逆，B?Cn?n，若对算子范数有||A?1||?||B||?1，则A?B可逆.
( ? )
10. 设A为m?n矩阵，P为m阶酉矩阵, 则PA与A有相同的奇异值. ( ) 11. 设A?Cn?n，且A的所有列和都相等，则r(A)?A?. ( )
1?i?n12. 如果x?(x1,x2,?,xn)T?Cn，则||x||?minxi是向量范数. ( )
13. 设A?Cn?n,则矩阵范数Am14、设A?Cn?n与向量的1-范数相容. ( )
?是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数?有I?A?1, 其中I为单位矩
阵. ( )
二、 设A?C(1)||
三、 试证：如果A为n阶正规矩阵，且Ax??x和Ay??y，其中，???，那么x与y
正交.
证： A为n阶正规矩阵?A?U?U?
H Ax??x?U?Ux??x??Ux??Ux???????x'?Ux?Hm?n，||A||?mnmax|aij|，证明:
i,jA||为矩阵范数; (2)||A||为与向量2-范数相容.
?x'??x'
设x'?(x'1,?,x'n)T??i??时,x'i?0
'' Ay??y?UH?Uy??y??Uy??Uy????????y'?Uy?y??y? ?
?i??时,y'i?0
????(x',y')?0
''H 0?x,y?(Ux)Uy?xHUHUy?xHy??x,y?
??
四、 (1) 设
A?Cn?n(n?1)为严格对角占优矩阵，D?diag(a11,a22,?,ann)，其中
aii(i?1,2,?,n)为A的对角元，E为n阶单位矩阵，则存在一个矩阵范数||?||使得
r(E?D?1A)?1.
(2) 设A?C个矩阵范数||
五．设矩阵U是酉矩阵, A?diag(a1,a2,?,an), 证明: UA的所有特征值?满足不等式
n?n,
?为任意给定的正数，r(A)为矩阵的谱半径。证明：至少存在一
A||使得||A||?r(A)??.
min{|ai|}?|?|?max{|ai|}.
ii六. 设||?||a是Cn?n上的相容的矩阵范数, 矩阵B,C都是n阶可逆矩阵, 且||B?1||a及
||C?1||a都小于或等于1, 证明: 对任意矩阵A?Cn?n
||A||b?||BAC||a
定义了Cn?n上的一个相容的矩阵范数.
七．设A是可逆矩阵, ?是A的一个特征值, 对于任意的算子范数||?||, 证明|?|?H1. ?1||A||八. 设A是Hermite矩阵(A?A)，且A的特征值?1??2????n，证明矩阵A的
Rayleigh商恒等于?1.
九．已知Cn?n中的两种矩阵算子范数|| ? ||a与|| ? ||b, 对于任意矩阵A?Cn?n, 验证
||A?||A||a?||Ab| |是Cn?n中的相容矩阵范数.
十．设矩阵A?Crm?n的非零奇异值为?1,?2,?,?r(r?0), 求证
||A||F?(??i).
i?1r122十一. 设矩阵A?Cn?n可逆, 矩阵范数||?||是C上的向量范数||?||v诱导出的算子范数, 令
n
L(x)?Ax, 证明:
max||L(x)||v||x||v?1||y||v?1min||L(y)||v||x||?1?||A||?||A?1||.
证明: 根据算子范数的定义, 有max||L(x)||?||A||,
||A?1x||y?Ax||y||111, ||A||?max?max???x?0y?0||Ay||||x||||Ay||minmin||Ay||min||L(y)||||y||?1||y||?1y?0||y||?1?1结论成立.
十二. 设矩阵A?C矩阵H?Cn?nn?n为单纯矩阵, 证明: A的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定
, 使得HA为Hermite矩阵.
HHHH证明: (充分性) Ax??x(x?0), xHAx??xHx?R,(xHx?0,xHAx?R),
??R.
(必要性) A为单纯矩阵, 所以A?P?1DP, D?diag(?1,?,?n),?i?R, 令H?PP, 则HA?PPPDP?PDP为Hermite矩阵. 十三. (1) 设矩阵A?(aij)n?n, 则
HH?1H||A||a?n?max|aij|
i,j是矩阵范数.
(2) 设x,y,p,q?Cn, 矩阵A?xpH?yqH,其中x?y,p?q，求||A||m2.