3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式（学案）
一、学习目标
1.熟练掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式
2.运用上述公式进行化简、求值、证明问题。
二、自主学习
(一)．温故知新 1.和差角公式
cos?????? sin?????? tan?????? 2.倍角公式
sin2a= ；(S2?)
cos2a= = = ；(C2?) tan2a= ；(T2?) 三、合作探究
知识点一 化简求值
例1 求下列各式的值．
π512
(1)coscosπ； (2)－cos215°.
121233
回顾归纳 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系及诱导公式是常用方法．
知识点二 化简或证明
例2 求证
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3－4cos 2A＋cos 4A
＝tan4 A.
3＋4cos 2A＋cos 4A
回顾归纳 利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明．
知识点三 条件求值
2
πsin 2x－2sinx45π7π－x?＝－， 回顾归纳 本题采用的“凑角法”是解三角问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系 选择公式． 四、学以致用 训练1 求值 (1)cos 20°·cos 40°·cos 80°； (2)tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)． 训练2 化简 π?5πcos 2x －x＝，0 1＋sin 2θ－cos 2θ . 1＋sin 2θ＋cos 2θ 五、自主小测 π 1．函数y＝2cos2(x－)－1是( ) 4 π A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 2π C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 2 第 2 页 共 4 页 cos 2α2 2．若＝－，则cos α＋sin α的值为( ) π2α－?sin??4?A．－ 7 2 1B．－ 2 1C. 2 D.7 2 π?12 －α＝，则cos?π＋2α?的值为( ) 3．若sin??6?3?3? 1A．－ 3 7B．－ 9 1C. 3 7D. 9 1－tan θcos 2θ4．若＝1，则的值为( ) 2＋tan θ1＋sin 2θ A．3 B．－3 C．－2 1 D．－ 2 15πθ 5．如果 cos θ ＝，<θ<3π，则sin 的值是( ) 522 A．－ 10 5 B.10 5 C．－ 15 5 D.15 5 4 6．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝________. 3π 0，?，则α＝________. 7．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈??2?1－cos θ＋sin θθ 8．已知tan ＝3，则＝______. 21＋cos θ＋sin θ 参考答案 ππ2π 1．A [因为y＝2cos2(x－)－1＝cos(2x－)＝sin 2x为奇函数，T＝＝π.] 422 cos2α－sin2αcos 2α21 2．C [＝＝－2(sin α＋cos α)＝－.∴sin α＋cos α＝.] π222α－?sin??4?2?sin α－cos α?22ππ π＋2α?＝－cos[π－?π＋2α?]＝－cos?－2α?＝－[1－2sin2?－α?]＝3．B [cos??3??3??3??6?π7 －α?－1＝－.] 2sin2??6?9 1－tan θ14．A [∵＝1，∴tan θ＝－. 22＋tan θ ?－1?1－?2?cosθ－sinθcos θ－sin θ1－tan θcos 2θ ∴＝＝＝＝＝3.] 1?1＋sin 2θ?sin θ＋cos θ?2cos θ＋sin θ1＋tan θ?1＋?－2? 2 2 5π115πθ3πθ 5．C [∵<θ<3π， cos θ ＝，∴cos θ<0，cos θ＝－.∵<<，∴sin <0. 2554222θ1－cos θ3θ15 由sin2＝＝，∴sin ＝－.] 22525 第 3 页 共 4 页 16．－ 2 442tan α 解析 ∵tan(π＋2a)＝－，∴tan 2α＝－＝， 331－tan2α11 ∴tan α＝－或tan α＝2.又α在第二象限，∴tan α＝－. 22π 7. 6 解析 ∵sin22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0.∴4sin2αcos2α＋2sin αcos2α－2cos2α＝0. π1π0，?.∴2cos2α>0.∴2sin2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝(sin α＝－1舍)．∴α＝. ∵α∈??2?268．3 θθθθθθ sin ＋cos ?2sin2＋2sin cos 2sin ?22?2222?1－cos θ＋sin θθ 解析 ＝＝＝tan ＝3. θθθθθ2θ?1＋cos θ＋sin θ 2cos2＋2sin cos cos ＋sin ?2cos 22222?2? 第 4 页 共 4 页