数理统计 2014—2015 学年度第二学期期中考试
注意事项：1. 所有答案请直接答在试卷上 2．考试形式：闭卷
3. 本试卷共四大题，满分100分，考试时间100分钟
一、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
1、参数估计中评价估计量好坏的常用标准有（请至少写出两项）__________________ 。
2、设?为一个随机变量，0???1，如果x?使得P{??x?}??, 则称x?为?的下侧
?分位数；如果y?使得P{??y?}??, 则称y?为?的上侧?分位数，则对于正态
分布，x?, ?y1??, ?y?与?x1??中，与其余三项不相等的是 _________________ 。
3、补全抽样分布定理：设总体?~N(a,?2)，?1,?2,...,?n为总体?的样本，则
（1）?~N(a,?2n)；
（2）_____________________； （3）
nS2?2~?2(n?1).
4、假设检验的基本原理为 _______________________________________ 。
5、设指数分布总体?~?(1,?)，其中??0，试由
2?n?~?(n,12)??2(2n)确定?的1??置信区间为 _____________________________________ 。
6、点估计常用的方法有（请至少写出两项）___________________________________ 。
二、计算题（本题共6小题，每小题8分，共48分）
1、(8分) 设
?1,?2,...?n为总体?的一个样本，即?1,?2,...?n独立同分布，且
E(?)?a，D(?)??2都存在，求：
Q?D??1??2??D??2??3??...?D??n?1??n?
1
2、(8分) 设离散均匀分布总体?的概率函数P{??x}?且为未知参数，求N的矩法估计量。
3、(8分) 设总体?1，x?1,2,...,N, N为正整数，NN(a,9)，?1,?2,...?n为?的样本，求n的值，使得
P???1?a???1??0.90. 提示：以下分位数可供选择使用u0.95?1.645，
u0.975?1.960.
24、(8分) A, B两机器生产的钢管内径分别服从正态分布N(a1,?12)，N(a2,?2)，现从两机器生产的钢管中分别随机抽取8个和9个，测得其内径的方差（单位：平方毫米）分别为
222%%,S12?0.0794,S2?0.0328，调整后的方差分别为S?0.0907S12?0.0369. 试检验这两台机
器生产的钢管内径的方差是否相等（??0.05）？ 提示：以下分位数可供选择使用
F0.975(7,8)?4.529,F0.975(8,9)?4.102,F0.025(7,8)?0.204,F0.025(8,9)?0.230
2
5、(8分) 要求某种元件使用寿命（单位：小时）服从正态分布N(1000,?2),?2未知。现从某厂生产的这类元件中抽26件，测得其平均使用寿命为964小时，样本方差S2?1002，试问这个厂生产的这类元件是否合格（??0.05）？提示：以下分位数可供选择使用u0.95?1.645,u0.975?1.960,t0.95(25)?1.708,t0.975(25)?2.060.
6、(8分) 19世纪，伟大的生物学家孟德尔按照颜色与形状将豌豆分为四类：黄圆，绿圆，黄皱和绿皱。孟德尔根据遗传学的理论指出，这四种豌豆的数量之比应为9:3:3:1，他在n?556粒豌豆中，观察到这四类豌豆的数量分别为：315,108,101,32，试检验这四类豌豆的个数之比是否符合孟德尔指出的9:3:3:1（??0.05）？
提示：以下分位数可供选择使用?20.95(3)?7.81, ?20.95(4)?9.49,?20.975(3)?9.35,
?20.975(3)?11.14.
三、证明题（本题共2小题，共16分）
1、(6分) 设?1,?2,...,?n是来自正态总体N(0,1)的样本，证明：可以取得适当的a值，使得
?1??2?...??m统计量T?a服从t分布，并求出a的值。
222?m?1??m?2?...??n
3
N(0,?2)，?1,?2,...?n为?的样本，求：
2
?2； （1）?的矩估计量?2?ML2； （2）?的极大似然估计量?2、(10分) 设总体??ML是?的有效估计量。 （3）证明：?22
四、综合题（本题共2小题，每小题9分，共18分）
1、(9分) 入户推销有四种方法，某大公司想比较这四种方法有无显著的效果差异，设计了一项实验：从尚无推销经验的应聘人员中随机挑选一部分，并随机的将他们分为四个组，每组用一种推销方法培训。一段时期后得到他们在一个月内的推销额?ij，
i?1,2,3,4, j?1,2,3,4,5如下表所示： 20 17 第一组 25 21 第二组 16 20 第三组 18 18 第四组 452i?1j?118 23 17 20 21 30 21 18 4i?124 30 22 19 记总离差平方和Q???(?ij??)，组间离差平方和QA??ni(?i??)2，组内离差平方
2和Qe???(?ij??i)，计算得QA?165, Qe?126.8, 设各方法下推销额服从正态分布且
i?1j?145方差相等，试在显著性水平??0.05下，检验各种推销方法下的平均推销额有无显著差异。
提示：下列分位数可供选择使用
F0.95(3,16)?3.239,F0.975(3,16)?4.077,F0.95(4,20)?2.866,F0.975(4,20)?3.515.
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2、(9分) 某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（mg/l）与消光系数读数的结果如下： 尿汞含量xi 2 4 6 8 10 消光系数yi 小二乘估计。
64 138 205 285 360 已知yi与xi之间有关系式：yi??0??1xi??i，且?iN(0,?2)并相互独立，求?0,?1的最
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