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巧借辅助线解决梯形问题
刘书妹
梯形没有平行四边形、矩形等特殊四边形那么多性质，所以有关梯形的证明、计算题，常有一定的难度，如果能巧借辅助线，则能有效地化难为易。 一、移腰 1、移动一腰
例1 梯形两底长分别为14cm和24cm，下底与腰的夹角分别是60°和30°，求较短腰长。
解析：如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=14cm，BC=24cm，∠B=60°，∠C=30°。过点A作AE//DC交BC于E，得到平行四边形AECD和△ABE，故AE=DC（相当于将腰DC移到AE的位置），AD=EC（相当于将上底AD移到下底上，BE为两底之差），∠C=∠AEB=30°（相当于将∠C移到∠AEB的位置）。
图1
这样，梯形的两腰，两底之差，下底与腰的两个夹角都集中于Rt△ABE中，于是得到较短腰AB?
2、移动两腰
例2 如图2，梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC。 求证：∠B=∠C。
12BE?12?(24?14)?5(cm)。
图2
分析：过点E作EM//AB，EN//DC，分别交BC于点M、N。梯形两腰、下底与腰的两个夹角集中于△EMN中，由E、F分别是AD、BC的中点容易得到MF?FN?又由EF⊥BC，得EM=EN，故∠EMN=∠ENM，所以∠B=∠C。
二、移对角线
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12(BC?AD)，
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例3 如图3，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，对角线AC、BD互相垂直，梯形的两底之和为8。求梯形的高与面积。
图3
解析：过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，过点D作DM⊥BC于点M，这样得到平行四边形ACED，所以AC=DE（相当于将对角线AC移到DE的位置），AD=CE（相当于将上底、下底移到一起，BE为两底之和）。由AC⊥BD，得BD⊥DE。 这样将两对角线，两底和，两对角线夹角集中于△BDE中。容易得到DM为等腰直角△BDE的BE边上的高，所以DM?S梯形ABCD12BE?12(BC?AD)?4，即梯形的高为4，故
?12BE?DM?16。
三、移底
例4 如图4，梯形ABCD中，AB//CD，E为腰AD的中点，且AB+CD=BC。 求证：BD⊥CE。
图4
分析：延长CE交BA的延长线于点F，因为点E为AD的中点，可得△DCE≌△AFE，故CE=FE，CD=AF，由AB+CD=BC，得BC=BF，故BE⊥CE。
例5 如图5，在梯形ABCD中，AB//CD，且AB>CD，E、F分别是AC和BD的中点。 求证：EF?12(AB?CD)。
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图5
分析：连接DE并延长交AB于点G，易得△AGE≌△CDE，故DC=GA，DE=EG，从而得EF?
四、作高
例6 如图6，在梯形ABCD中，AB//CD，两条对角线AC=20cm，BD=15cm，梯形高为12cm，求梯形ABCD的面积。
12GB?12(AB?CD)。
图6
解析：此题有两种解法。
法一：如图6，分别过点C、D作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，得矩形DCEF，在Rt△ACE中，AC=20cm，CE=12cm，可得AE=16cm。同理BF=9cm，显然BF+AE=AB+CD=25（cm），可求梯形面积为150cm2。
法二：如图7，过点D作DE//CA交BA的延长线于点E，过点D作DF⊥BA于点F，在Rt△DEF中，DE=AC=20cm，DF=12cm，由勾股定理可得EF=16cm。同理，FB=9cm，所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25（cm），进而求得梯形面积为150cm2。
图7
小结：通过添加辅助线，将梯形问题转化为特殊平行四边形和特殊三角形问题，从而解决问题。添加辅助线的规律可归纳为以下几点：
1、当两腰（或对角线）具备特殊关系时，移腰（或对角线），构造等腰三角形或直角三角形。
2、当涉及面积时，作高，构造直角三角形。
3、当涉及腰（或对角线）的中点时，可添加辅助线构造全等三角形。
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4、当涉及两底的和或差时，可灵活利用上述3点，将两底移到同一直线上。
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