矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析
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第一章 误差分析与向量与矩阵的范数 ..................................... 1
1. 1.1内容提要 ................................. 错误！未定义书签。 2. 1.2典型例题分析 ............................. 错误！未定义书签。 3. 1.3习题 ..................................... 错误！未定义书签。 4. 1.4习题解答 ................................. 错误！未定义书签。 第二章 矩阵变换与计算 ................................ 错误！未定义书签。
5. 2.1内容提要 ................................. 错误！未定义书签。 6. 2.2典型例题分析 ............................. 错误！未定义书签。 7. 2.3习题 ..................................... 错误！未定义书签。 8. 2.4习题解答 ................................. 错误！未定义书签。 第三章 矩阵分析 ...................................... 错误！未定义书签。
9. 3.1内容提要 ................................. 错误！未定义书签。 10. 3.2典型例题分析 ............................. 错误！未定义书签。 11. 3.3习题 ..................................... 错误！未定义书签。 12. 3.4习题解答 ................................. 错误！未定义书签。 第四章 逐次逼近 ...................................... 错误！未定义书签。
13. 4.1内容提要 ................................. 错误！未定义书签。 14. 4.2典型例题分析 ............................. 错误！未定义书签。 15. 4.3习题 ..................................... 错误！未定义书签。 4.4习题解答 ..................................... 错误！未定义书签。 第五章 插值与逼近 .................................... 错误！未定义书签。
16. 5.1内容提要 ................................. 错误！未定义书签。 17. 5.2典型例题分析 ............................. 错误！未定义书签。 18. 5.3习题 ..................................... 错误！未定义书签。 5.4习题解答 ..................................... 错误！未定义书签。 第六章 插值函数的应用 ................................ 错误！未定义书签。
19. 6.1内容提要 ................................. 错误！未定义书签。 20. 6.2典型例题分析 ............................. 错误！未定义书签。 21. 6.3习题 ..................................... 错误！未定义书签。 6.4习题解答 ..................................... 错误！未定义书签。 第七章 常微分方程数值解 .............................. 错误！未定义书签。
22. 7.1内容提要 ................................. 错误！未定义书签。 23. 7.2典型例题分析 ............................. 错误！未定义书签。
24. 7.3习题 ..................................... 错误！未定义书签。 7.4习题解答 ..................................... 错误！未定义书签。 第八章 矩阵特征对的数值解法 .......................... 错误！未定义书签。
25. 8.1内容提要 ................................. 错误！未定义书签。 26. 8.2典型例题分析 ............................. 错误！未定义书签。 27. 8.3习题 ..................................... 错误！未定义书签。 8.4习题解答 ..................................... 错误！未定义书签。 自测试卷Ⅰ........................................... 错误！未定义书签。 自测试卷Ⅰ参考答案 ................................... 错误！未定义书签。 自测试卷Ⅱ........................................... 错误！未定义书签。 自测试卷Ⅱ参考答案 ................................... 错误！未定义书签。 自测试卷Ⅲ........................................... 错误！未定义书签。 自测试卷Ⅲ参考答案 ................................... 错误！未定义书签。 参考文献............................................. 错误！未定义书签。
第一章 误差分析与向量与矩阵的范数
一、内容提要
本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。
1．误差的基本概念和有效数字 1）．绝对误差和相对误差的基本概念
设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，则称x?a为近似值a的绝对误差，简称为误差． 当x?0时，以常把
x?a称为a的相对误差．在实际运算中，精确值x往往是未知的，所xx?a作为a的相对误差． a2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念
设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，如果有常数ea，使得
x?a?ea
a称ea为a的绝对误差界，或简称为误差界．称ea是a的相对误差界．
此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a近似x的程度越好，即a的精度越好．
3）．有效数字
设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，写成
a??10k?0.a1a2?an?
它可以是有限或无限小数的形式，其中ai(i?1,2,?)是0,1,?,9中的一个数字，a1?0,k为整数．如果
x?a?1?10k?n 2则称a为x的具有n位有效数字的近似值．
如果a有n位有效数字，则a的相对误差界满足：4）．函数计算的误差估计
如果y?f(x1,x2,?,xn)为n元函数，自变量x1,x2,?,xn的近似值分别为a1,a2,?,an，则
x?a1??101?n。 a2a1??ff(x1,x2,?,xn)?f(a1,a2,?,an)????k?1??xkn? ??(xk?ak)?a?f??其中????f(a1,a2,?,an)，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有 ????xk?a?xk??ff(x1,x2,?,xn)?f(a1,a2,?,an)?ea????k?1??xkn? ??eak?a如果令n?2，设x1,x2的近似值分别为a1,a2，其误差界为x1?a1?ea和x2?a2?ea2，
1取y?f(x1,x2)为x1,x2之间的四则运算，则它们的误差估计为，
ea1?a2?ea1?ea1；ea1?a2?a1ea1?a2ea1；ea1?a2a1ea1?a2ea1a22，a2?0。
数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高． 对于两个数作相减运算时，由于其相对误差界：
ea1?a2a1?a2?ea1?ea2a1?a2。
如果x1和x2是两个十分接近的数，即a1和a2两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值a1?a2的有效数字的位数将会很少。
对于两个数作相除运算时，由于其相对误差界：ea1?a2a1ea1?a2ea1a22。
从关系式中可以看出，如果x2很小，即a2很小，计算值5）．数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则
a1的误差可能很大。 a2⑴ 算法的数值稳定性：一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。反之，成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。
⑵ 在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。 ⑶ 在实际计算中应尽力避免绝对值极小数作除数。 ⑷ 注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。
⑸ 多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。 2．向量和矩阵范数
把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。
范数的主要的应用：
一、研究这些矩阵和向量的误差估计。
二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。