《角的平分线的性质》同步练习1
专题一 利用角的平分线的性质解题
1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.
2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC． 求证：OB=OC．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC∶∠B?2∶1，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E， AC=3 cm，求BE的长．
专题二 角平分线的性质在实际生活中的应用
4．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在( )
A．在AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边中线的交点处 C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm(指图上距离)，则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．
6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．(保留作图痕迹)
线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．
参考答案:
1．证明：∵DF?AB，DG?AC，DF?DG， ∴AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD?∠CAD． 在△ABD和△ACD中，
?AB?AC(已知）? ??DAB??DAC（已求）?AD?AD（公共边）?∴△ABD≌△ACD(SAS)． ∴∠ADB?∠ADC．
又∵∠BDA?∠CDA?180?，∴∠BDA?90?，∴AD?BC． 2．证明：∵AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OD=OE，
在Rt△BDO和Rt△CEO中，
??BDO??CEO,??OD?OE??DOB??COE,?∴△BDO≌△CEO(ASA)． ∴OB=OC．
3．解：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠B=90°， 又DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，
又∠BAC∶，∠B=30°， ∠B?2∶1，∴∠A=60°又∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE， ∴AE?AC?3cm． 在Rt△DAE和Rt△DBE中，
??DAE??B???AED??BED ?DE?DE.?∴△DAE≌△DBE(AAS)， ∴BE?AE?3 cm．
4．C 解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．故选C．
5．∠A的角平分线上，且距A1cm处 角平分线上的点到角两边的距离相等 6．解：作两个角的平分线，交点P就是所求作的点．