2019届四川省南充市高三一诊考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合M?x?x?1??x?4??0，N?x?x?1??x?3??0，则M????N?（ ）
4? A．? B．?1? C．?4? D．?1 ，z2?（ ） 2.若复数z?1?i，则
z?1A．2 B．?2 C．2i D．?2i
?1?3.已知向量a?? ， sin??，b??sin? ， 1?，若a∥b，则锐角?为（ ）
?2?A．30? B．60? C．45? D．75? 4.设a?log310 ， b?log37，则3a?b?（ ） A．
1049710 B． C. D． 49101075.已知等差数列?an?的公差为2，若a1 ， a3 ， a4成等比数列，则a2等于（ ） A．?4 B．?6 C.?8 D．?10
6.如图是一个几何体的正视图与侧视图，其俯视图是面积为82的矩形，则该几何体的表面积是（ ）
A．20?82 B．24?82 C.8 D．16 7.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入4，则输出S?（ ）
A．10 B．17 C.19 D．36
b??ab?0?是圆x2?y2?r2内的一点，直线m是以P点为中点的弦所在的直线，直线l的方8.已知点P?a ，程为ax?by?r2，那么（ ）
A．m∥l，且l与圆相交 B．m?l，且l与圆相切 C.m∥l，且l与圆相离 D．m?l，且l与圆相离 ???19.设sin?????，则sin2??（ ）
?4?31717A． B． C.? D．?
999910.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（ ） A．9:4 B．4:3 C.3:1 D．3:2
11.已知抛物线y2?2px?p?0?，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ， B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．x?1 B．x??1 C.x?2 D．x??2
11 1?，???1 ， 2?，a ，12.已知? ， ?是三次函数f?x??x3?ax2?2bx的两个极值点，且???0 ， b?R，
32则
b?2的取值范围是（ ） a?11?1??1??1??1?1A．? ， 1? B．? ， 1? C.?? ， ? D．?? ， ?
4?2??4??2??2?2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
1??13.?2x??的展开式中，x3的系数是 （用数学填写答案）；
x??514.若a?1，则a?1的最小值是 ． a?115.如果函数f?x??sin?2x???，函数f?x??f'?x?为奇函数，f'?x?是f?x?的导函数，则tan?? ．
16.已知正数数列?an?的前n项和Sn?12?an?1?，则an? ． 4三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
△ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c，已知bcosC??2a?c?cosB.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若c?2，b?3，求△ABC的面积.
18. （本小题满分12分）
某示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：
周一 周三 周五 信息技术 1 4生物 1 4化学 1 4物理 1 4数学 1 21 21 31 21 31 21 31 21 32 32 3（Ⅰ）求数学辅导在周一、周三、周五都不满座的概率；
（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为X，求X的分布列和数学期望E?X?.
19. （本小题满分12分）
如图，PA?平面ABCD，PA?AD?2，ABCD是菱形，?BAD?60?. （Ⅰ）求证：平面PBD?平面PAC； （Ⅱ）求二面角D?PB?C的余弦值.
ODCP
AB20. （本小题满分12分）
x2y21已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为，两焦点之间的距离为4.
ab2（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2?4x于A ， B两点，求证：OA?OB（O为坐标原点）.
21. （本小题满分12分）
x2已知函数f?x??ln?x?2??（a为常数，a?0）.
2a（Ⅰ）当a?1时，求函数f?x?在点?3 ， f?3??的切线方程 （Ⅱ）求f?x?的单调区间；
33??e?2 ， e?2e?2 ， e?2?fx?0（Ⅲ）若f?x?在x0处取得极值，且x0??，而在??????上恒成立，求实数a的取值范围.（其中e为自然对数的底数）
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）
?x?a?3t?在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?，（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相
y?t??同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为??4cos?. （Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值.
23. （本小题满分10分）
已知函数f?x??x?a?2x?1?a?R?. （Ⅰ）当a?3时，求函数f?x?的最大值； （Ⅱ）解关于x的不等式f?x??0.