探究命题教学课例研究
数学的核心内容是由命题组成的。命题教学采用探究式教学成为当今数学教学改革的热点之一。
课例：勾股定理探究教学课例研究
（一）设计背景
从某种意义上说，勾股定理的教与学是数学教改的晴雨表：上一世纪五六十年代数学课程中的严格论证，后来提倡的“量一量、算一算”之后的“告诉结论”，“做中学”，直到现在的探究式等，在勾股定理的教学中都有各自的追求。数学教学要培养学生数学计算、数学论证乃至数学推断等能力，勾股定理的教学正是一个恰当的例子。为实施探究水平的教学，在教学设计上存在两个难解的困惑：①通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a2＋b2＝c2，由于得到的数据不总是整数，学生很难猜想出它们的平方关系，因此教师常常把勾股定理作为一个事实告诉学生；②勾股定理的证明有难度，一般来说学生很难自行探究，寻得解决的方法。
根据对世界各地对勾股定理的处理，我们发现美国和澳大利亚倾向于直接呈现勾股定理，而辅以直观的操作来确认定理的真实性，而捷克、香港和上海倾向通过活动去发现定理，然后介绍多种证明方法，不过捷克和香港证明以直观操作确认为导向，而上海的证明是直观操作及逻辑推理并重。
可见，直接让学生猜想和证明勾股定理是有困难的。事实上，多数教师教勾股定理，基本采用讲解的方式，在我们视野所及的范围内，即使有教师力图实施探究性教学，也只是停留于形式，称不上实质意义上的探究。那么能否通过设计合适的学习情境做铺垫，引发学生的数学猜想？能否在铺垫的基础上，通过数形结合，引导学生自行论证，并从中懂得反驳与证明的价值呢？上海青浦的一项研究做了这样的改进：运用“脚手架”理论，通过“工作单”进行铺垫，为学生的学习提供一种教学协助，帮助学生完成在现有能力下对高认知水平学习任务的跨越。
（二）教学过程
通过工作单形式组织如下教学环节： 1、探究活动：发现和证明定理作铺垫
工作单1. 在方格纸内斜放一个正方形ABCD（如图1(1)所示），正方形的4个顶点都在格点上，每个小方格的边长为1个长度单位，怎样计算正方形ABCD的面积？
图1(1) 图1(2)
这一环节是教师设置铺垫，为学生的探究提供教学协助。斜放正方形的面积可按图1(2)启示的思路计算（正放的大正方形的面积减去4个阴影直角三角形的面积）。这样所得数据都是整数，为下一步发现定理的探究活动（见下面工作单2）作准备，也为后面定理证明方法（面积补割的方法）的发现做了伏笔。
2、定理的发现：操作、计算、观察、猜想
工作单2. 直角三角形两条直角边（a、b）和斜边（c）之间有什么关系？用前面提供的方法分别计算下列四图中的a2、b2、2ab及c2的值，并填表，然后猜测它们之间的数量关系。
① ②
图2
③ ④
注：表内数据是后来填上去的。
代数项 a2 b2 2ab 图① 1 4 4 图② 4 9 12 图③ 9 16 24 图④ 16 25 40 c2 5 13 25 41 学生运用第一份工作单提供的方法，计算并填表，然后归纳表内数据，猜测直角三角形两条直角边和斜边之间可能有的关系。学生通过仔细观察，很容易猜想出“a2＋b2＝c2”。出人意料的是，有的学生根据数据表还归纳出了“2ab＋1＝c2”的猜想。对这个猜想，教师提问“它是不是一个普遍的规律呢？”。于是，学生投入到确认或反驳的争论中去：
T：从上式子，我们可以看出a2＋b2＝c2，2ab＋1＝c2，两式都成立吗？那我们来试一下看看。第一图中，a2＋b2＝12＋22＝5＝c2，2ab＋1＝4＋1＝5＝c2，对吗？对的！请同们验证在其它几个图中，这两个关系是否仍成立？（学生独立验算。）
S：表中的数据这两个关系都成立吗？
T：下面请同学们自己再画一个不同的三角形来，可以利用现有的方格纸来画图（学生自画）。
T：再把你们画的直角三角形的a2，b2，c2，2ab写到表格旁边，再看一下这两个关系是否还成立。（学生填表，教师巡视。）
T：好，现在教师看到两个直角三角形。这个三角形是李斌画的。你的直角三角形的两条直角边分别是多少？
S：2、2。
T：他画的直角三角形的两条直角边都是2。那么，算出来a2＝4，b2＝4，2ab＝8，2ab＋1＝9，那么c2＝9吗？我们请同学们们算一下，同学们算出来是（c2）8，对不对？对的。所以2ab＋1＝c2不成立，但是a2＋b2＝c2仍成立。下面看王涛的画的。你的直角三角形的两条直角边是多少？
S：两条直角边都是1。
T：这是两条直角边都是1的直角三角形。请坐，那么我们再来验算一下，在这个直角三角形中，a2＋b2＝12＋12＝2＝c2，仍成立。而2ab＋1＝2＋1＝3不等于c2，所以2ab＋1＝c2不成立。因此，2ab＋1＝c2在一般直角形中是不成立的。但是，根据前面的验算，a2＋b2＝c2都成立。那么，这个关系是否在任意直角三角形中都成立？这是我接下来要证明的问题。 上面的试验推翻的2ab＋1＝c2，那么“a2＋b2＝c2”是否也可举例推翻呢？例子举不胜举，但都否定不了，看来要确认它为定理，只有依赖逻辑证明这一有力手段了。在这里，学生的尝试错误已被作为一种有效的教学资源，成为他们懂得反驳与证明的价值，激发探究勾股定理证明方法的直接动因。
3、证明的发现：从特殊到一般
工作单3. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这一命题是从以上几个特殊例子得出的，而对于一般的直角三角形，它是否成立呢？把图中的方格纸背景撤去，并且隐
去a、b的具体数值，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c，利用刚才计算斜放正方形面积的方法证明a2＋b2＝c2这一命题的正确性（如图3所示）。
图3(1) 图3(2)
第三个环节拆除了原先的铺垫，通过数形结合，让学生学会逻辑证明的一般方法。之前，第一个环节计算斜放正方形面积的方法，实际上蕴含了一种通过计算论证定理的思路：c2＝(a＋b)2－2ab，第二个环节又强化了这一条思路，到这时经过上述铺垫，定理证明的难度明显降低了，学生完全可以亲自“做出来”，如下片段所示：
T：我们请同学来说说看，他在这时是怎么验证：a2＋b2＝c2，我们刚讲过先求c2，怎么求呢？张洁说说看。
S：在斜正方形四周补上三个直角三角形。
T：以这个以C为边的正方形四周补上三个直角三角形，然后呢？ S：大的正方形的面积等于(a＋b)2 T：所以c2＝(a＋b)2减去 ？
S：减去。
T：减去，每个小的直角三角形的面积是
，那么，这就是我们求的c2了，然
后怎么去验证结论呢？
S：把这个平方展开。
T：把这个平方计算出来，我们计算一下。
S：等于a2＋2ab＋b2－2ab＝a2＋b26。（学生口答，教师板书。）
T：c2＝a2＋b2算出来了吗？ S：出来了。（齐声回答。）
由于，在前面两个阶段都对面积计算方法作了铺垫，因此，学生证明定理获得是水到渠成之事。学生成功地亲身经历了定理的猜测和验证过程，充分体验了解决问题的愉悦。紧接着，教师又组织学生探究证明的多种证明，开拓学生的思维。
工作单4. 请用四个直角边长为a，b斜边为c的四个直角三角形，拼成含有至少一个正方形（边长为a，b或c）的正方形，并比较不同拼图之间的面积关系。
学生通过尝试，很快得到了下述的两种拼图，然后，教师启发他们计算各种拼图的面积，于是得到了另一种定理的确认。
接着，教师介绍了勾股定理的发现历史及中国古代数学家取得的辉煌成就。最后，指出使用勾股定理，可能在直角三角中，已知两边求第三条边。
4、定理应用：变式训练 工作单5.
图4
（1）在图4左图Rt△ABC中，a＝3，b＝4，求c。 （2）在图4右图Rt△ABC中，a＝3，b＝4，求c。
（3）在一个直角三角形中，已知两边边长是3和4，求第三条边的长度。
通过这种层层递进的变式训练，促进学生理解和掌握勾股定理，为灵活运用打下了基础。 由上述分析，我们可以发现，由于精心设计了工作单这一“脚手架”，使学生在内在的情感和动机驱动下，主动探究，猜测，确定或反驳，体验科学发现的思维过程，从再获得对定理本身及相应思想方式的理解与掌握，进一步，通过变式训练，更让学生体验到使用自己发现的知识解决问题的成功喜悦。