一次函数与三角形存在性问题
相关知识点
1、两点距离公式A(x1,y1)B(x2,y2)，则AB=
2、等腰三角形相关性质及作法
3、对于一次函数y=kx+b（k≠0） ①当k＞ 0时，y随x的增大而，向 当k＜0时，y随x的增大而。向
②k越，倾斜角度越。直线y=x，与x轴夹角为，y=3x，与x轴正方向夹角为 ，y=
3x，3与x轴正方向夹角为
③经过点（0，k）且平行于x轴的直线叫做直线，经过点（k ，0）且平行于y轴的直线叫做直线
④对于直线l1:y?k1x?b1和l2:y?k2x?b2
当l1∥l2时，;当l1?l2时，.
⑤若A(x1,y1)B(x2,y2),则直线AB的斜率kAB=； 若直线斜率k=3，且过点（1,4），则直线解析式为
类型一、等腰三角形存在性 例1. 如图，直线y?3x?2与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是x轴上的动点， 3若使△ABP为等腰三角形，则点P的坐标是
例2、如图，直线y=x+3与y轴交于点A，与直线x=1交于点B，点P是直线x=1上的动点，
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若使△ABP为等腰三角形，则点P的坐标是
例3、如图，直线l1：y=x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴上任意一点，直线l2：y=﹣x+b经过点C，且与直线l1交于点D，与y轴交于点E，连结AE． （1）当点C的坐标为（2，0）时， ①求直线l2的函数表达式； ②求证：AE平分∠BAC；
（2）问：是否存在点C，使△ACE是以CE为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二、等腰直角三角形存在性
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例4、（1）模型建立：如图（1），等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证△BEC≌△CDA； （2）模型应用：
①已知直线l1=x+4与y轴交于A点，将直线l1绕点A顺时针旋转45°至l2，求l2的函数解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是直线y=2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．
例5、如图，点M是直线y=2x+3在第二象限上的动点，过点M作MN垂直x轴于点N，在y轴的正半轴上求点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标 ．
练习：
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31、如图，直线y?-x?3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是线段AB上的动点，
4若使△OAP为等腰三角形，则点P的坐标是
2、如图，在平面直角坐标系中，过点A的两条直线分别交y轴于B（0，3）、C（0，﹣1）两点，且∠ABC=30°，AC⊥AB于A． （1）求线段AO的长，及直线AC的解析式；
（2）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
3、直线y?
1x?1与x轴，y轴分别交于A,B两点，C是第二象限点，则使△ABC是等腰直角34
三角形的C点坐标是
4、如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（5，5）为第一象限内一点，点B在x轴正半轴上，且∠AOB=45°，OA=OB． （1）求点B的坐标；
（2）动点P以每秒2个单位长度的速度，从点O出发，沿x轴正半轴匀速运动，设点P的运动时间为t秒，△ABP的面积为S，请用含有t的式子表示S（S≠0），并直接写出t的取值范围；
（3）如图2，在（2）的条件下，点D坐标为（2，0），连接AD，AK⊥AD，过点B作x轴的垂线交AK于点K，过点A作x轴的平行线a，在点P的运动过程中，直线a上是否存在一点R，使△PKR是以PR为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．
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