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?5?(n?2)[2?(3n?7)]3211?n?n?10. 当n?2时,满足此式.
222n?1,?4,? ……12分 综上,Sn??3211n?n?10,n?1.??2218.
⑴随机取出3张卡片的所有可能结果为
,323C8?56种而取出的张卡片中有个数字和一个
2112C6?C2?C6?C2字母或1个数字和2个字母的可能结果为因此，所求概率为
.
2112=9. …… 4分
C6C2?C6C2P?314C8⑵依据题意知，ξ的取值为0,2,4,5,6,7,8.……6分
当ξ=0时，即三张卡片中有一个字母和二个不同数字，或二个字母一个数字，得
12112121C2C3C2C2?C2C615C2C221P(??0)??P(??2)???3328C85628C82121C2C2?C2C242P(??4)???3C85628.；
；
2121C2C2?C2C242P(??5)???3C85628；
21111C2C2?C2C2C2105P(??6)???3C8562821C2C21P(??8)?32??C85628；
2121C2C2?C2C242P(??7)???3C85628；
.∴ξ的分布列为：
……10分
∴E
1512252118……12分
??0??2??4??5??6??7??8??28282828282828719.
（1）证明：在菱形ABEF中，因为?ABE?60?，所以△AEF是等边三角形， 又H是线段EF的中点，所以AH?EF?AH?AB，
因为平面ABEF?平面ABCD，所以AH?平面ABCD，所以AH?BC；……2分 在直角梯形ABCD中，AB?2AD?2CD?4，?BAD??CDA?90?，得到：
222AC?BC?22，从而AC?BC?AB，所以AC?CB，…… 4分 所以CB?平面AHC，又
BCü平面BCE，所以平面AHC? 平面BCE；……6分
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（2）由（1）AH?平面ABCD，如图，分别 以AD,AB,AH所在直线为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0),B(0,4,0),C(2,2,0),D(2,0,0)， 分
E(0,2,3),F(0,?2,3),H(0,0,3),G(1,3,0)?????????共面， 设点M的坐标是，则????(0,m,3)GM,AF,AD所以存在实数?,?使得： 得到:
……7
?????????????
GM??AD??AF?(?1,m?3,3)?(2?,0,0)?(0,?2?,3?)，
.
:
, ……8分
2???1,m?3??2?,3?3??m?1即点M的坐标是(0,1,3)? 由（1）知道：平面AHC的法向量是???BC?(2,?2,0)， 设平面ACM的法向量是?n?(x,y,z)，
?则：????，……9分 ?(x,y,z)?(2,2,0)?0x??y??n?AC?0????????????????(x,y,z)?(0,1,3)?0??y??3z?n?AM?0? 令z?3，则y??3,x?3，即?n?(3,?3,3)，
所以
1242?722?21即平面ACH与平面ACM所成角的余弦值是
42。……12分 720.
（1）由
，……2分
3c2322e??2??a?4b2a42又点；……4分 y2P(2,3)在椭圆上，4?3?1?b2?4，所以椭圆方程：x??14b2b2164（2）当l垂直x轴时，x?4， M(2,3),N(2,?3)，则AN的方程是：y?6?3BM的方程是：yx?4，交点G的坐标是：(8,?23)，猜测:存在常数t?8,
??23即直线l'的方程是:x?8使得l'与AN的交点G总在直线BM上, 证明：设l的方程是y?k(x?2)，点M(x,y),N(x,y)，G(8,y)
G1122将l的方程代入椭圆C的方程得到：x2?4k2(x?2)2?16，
即：(1?4k2)x2?16k2x?16k2?16?0，
?????cos?n,BC??，……11分
16k216k2?16，……6分
x1?x2?,x1x2?1?4k21?4k2?因为：???，????共线 AG?(12,yG)AN?(x2?4,y2)A,N,G从而：
所以：12y?(x?4)y，
22G12y2，
yG?x2?4七彩教育网(www.7caiedu.cn)上传资源获得现金奖励！
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?又???BG?(4,yG)?，????BM?(x1?4,y1)
要证明B,M,G共线，即要证明即证明：
12y2，……9分
4y1?(x1?4)x2?4k(x1?2)(x2?4)?3k(x2?2)(x1?4)，
即：xx?2x?4x?8?3xx?6x?12x?24，
12211212即：xx?5(x?x)?16?0 1212成立， 16k2?1680k2x1x2?5(x1?x2)?16???16?01?4k21?4k2所以点G在直线BM上。
综上:存在定直线l':x?8,使得l'与AN的交点G总在直线BM上,t的值是8。……12分 因为：21. （1）
2a2(x2?1?a)
g'(x)??2x?2?x?1x?1当1?a?0即a?1时，g'(x)?0，函数g(x)在定义域(?1,??)上是增函数；
当0?1?a?1即0?a?1时,由
?g'(x)?0??x?1?0得到?1?x??1?a或x?1?a，
所以：当a?0时，函数g(x)的递增区间是
(?1,?1?a)和(1?a,??)，递减区间是
(?1?a,1?a)；
当1?a?1即a?0时，由
?g'(x)?0??x?1?0得到：x?1?a，
,……6分
(1?a,??)递减区间是(?1,1?a)；
所以:当a?0时,函数g(x)的递增区间是
（2）若函数g(x)是“中值平衡函数”，则存在A(x,f(x)),B(x,f(x))（?1?x?x）
121122使得
f(x1)?f(x2)即
g'(x0)?x1?x2即
， 1?x12aln1?x22a?x1?x2?2??x1?x2?2x1?x2x?x121?2（*）
1?x12a(x1?x2)，aln?1?x21?x1?1?x2当a?0时，（*）对任意的?1?x?x都成立，所以函数g(x)是“中值平衡函数”，且函数
12g(x)的“中值平衡切线”有无数条；
当a?0时，设
1?x记函数
，则方程
11?x2?t2(t?1)在区间(0,1)上有解， lnt?t?1， 22(t?1)，则14(t?1)h(t)?lnt?h'(t)????0t?1t(t?1)2t(t?1)2七彩教育网(www.7caiedu.cn)上传资源获得现金奖励！
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所以当0?t?1时，h(t)?h(1)?0，即方程即函数g(x)不是“中值平衡函数”.……12分
2(t?1)在区间(0,1)上无解， lnt?t?1
Cos∠DOH=cos∠CAB=AC3…………6分 ?AB522
设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x ∴AH=8x AD=80x
2
AB=AE·10x ∴AE=8X…………8分 由△AED∽△ADB可得 AD=AE·
又由△AEF∽△DOF 可得AF∶DF= AE∶OD =8；∴AF=8……10分
5DF523解（1）设点A,B,C的极坐标分别为(?1,?),(?2,???4),(?3,???4)
∵点A,B,C在曲线C1上，∴?1?4cos?,?2?4cos(??则|OB|?|OC|=?2??3?4cos(???4),?3?4cos(???4)
?4)?4cos(???4)?42cos?
2|OA|?2?1?42cos?, 所以|OB|?|OC|?2|OA| ......5分
（2）由曲线C2的参数方程知曲线C2为倾斜角为?且过定点(m,0)的直线， 当???12时，B，C点的极坐标分别为(2,?),(23,?)
36?化为直角坐标为B(1,3)，C(3,?3)，
2??3?3 ??3，0????， ∴??33?1 直线BC的普通方程为y??3(x?m)， ∵过点B(1,3)，
∵直线斜率为tan?? ∴3??3(1?m)，解得m?2 ......10分
24．解: （1）由题f(x)?f(x?1)?x?1?x?2?x?1?2?x?1. 因此只须解不等式x?1?x?2?2. ……2分
1?x?1. 2当1?x?2时，原不式等价于1?2，即1?x?2.
当x?1时，原不式等价于?2x?3?2，即
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当x?2时，原不式等价于2x?3?2，即2?x?5. 25??1?x??. ……5分
2??2（2）由题f(ax)?af(x)?ax?1?ax?1.
综上,原不等式的解集为?x|当a＞0时，f(ax)?af(x)?ax?1?ax?a
?ax?1?a?ax?ax?1?a?ax?a?1 ……10分
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