数列?an?，a1?1，an?3n?1?an?1?n?2?，求an （an?1n3?1） 2?? （4）等比型递推公式
an?can?1?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0 可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x? ?an?can?1??c?1?x
??x? 令(c?1)x?d，∴d c?1d?d ∴?，c为公比的等比数列 ?an??是首项为a1?c?1c?1?? ∴an?dd??n?1??a1??·c c?1?c?1???d?n?1d ?c?c?1?c?1 ∴an??a1?［练习］
数列?an?满足a1?9，3an?1?an?4，求an
4? （an?8?????3? （5）倒数法
n?1?1）
例如：a1?1，an?1?2an，求an an?2 由已知得：1?an?2?1?1
an?12an2an ∴1an?1?11? an21?11 ????为等差数列，?1，公差为
a12?an? ?111?1??n?1?·??n?1? an22
∴an?2 n?1 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：?an?是公差为d的等差数列，求?1
k?1akak?1n 解：由n111?11???????d?0?
ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?n11?11????? ∴??
aadaa?k?1kk?1k?1kk?1?
?11??11??11?1????????????……?????d??a1a2??a2a3?aa?nn?1???1?11????d?a1an?1?
［练习］ 求和：1?111 ??……?1?21?2?31?2?3?……?n （an?……?……，Sn?2? （2）错位相减法：
1） n?1 若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项
和，可由Sn?qSn求Sn，其中q为?bn?的公比。
如：Sn?1?2x?3x?4x?……?nx23n?1?1?
x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn ?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn x?1时，Sn?2?
1?x?nx???nn?1?x?21?x
x?1时，Sn?1?2?3?……?n?n?n?1?2
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
Sn?a1?a2?……?an?1?an???相加
Sn?an?an?1?……?a2?a1?? 2Sn??a1?an???a2?an?1??……??a1?an?…… ［练习］
x2?1??1??1? 已知f(x)?，则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f????????2??3??4?1?x2?1????x?2
1?x （由f(x)?f??????x?1?x22x21???1 2221?x1?x?1?1????x??1????1????1?? ∴原式?f(1)??f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f???????????2???3???4??????? ?11?1?1?1?3） 22 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
n?n?1???r?……等差问题 Sn?p?1?r??p?1?2r??……?p?1?nr??p?n?2?? △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足
n p(1?r)?x?1?r?n?1?x?1?r?n?2?……?x?1?r??x
n?1??1?r?n?1?r??1? ?x? ??xr??1??1?r??? ∴x?pr?1?r?n?1?r?n?1
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 （1）分类计数原理：N?m1?m2?……?mn （mi为各类办法中的方法数） 分步计数原理：N?m1·m2……mn （mi为各步骤中的方法数）
（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一 列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn. An?n?n?1??n?2?……?n?m?1??mn!?m?n?
?n?m?! 规定：0!?1
（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.
n?n?1?……?n?m?1?Amn!?? C?n mm!m!?n?m?!Ammn 规定：C0 n?1 （4）组合数性质： Cn?Cnmn?mm?101nn，Cm?Cmn?Cnn?1，Cn?Cn?……?Cn?2
50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
xi?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x1?x2?x3?x4，
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24
B. 15
C. 12
D. 10
?? 解析：可分成两类： （1）中间两个分数不相等，
4 有C5?5（种）
（2）中间两个分数相等 x1?x2?x3?x4
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理
n1n?1n?22n?rrn (a?b)n?C0b?C2b?…?Crb?…?Cnna?Cnanananb n?rr 二项展开式的通项公式：Tr?1?Crb(r?0，1……n) na Cr n为二项式系数（区别于该项的系数） 性质：
n?r （1）对称性：Crr?0，1，2，……，n n?Cn??1nn （2）系数和：C0 n?Cn?…?Cn?2 Cn?Cn?Cn?…?Cn?Cn?Cn?…?2135024n?1
（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
?n?2；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式 ??1?项，二项式系数为Cn?2?n?1n?1系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为Cn2?Cn2
22n?1n?1n 如：在二项式?x?1?11的展开式中，系数最小的项系数为 （∵n＝11
∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第（用数字表示）
12?6或第7项 2r11?r 由C11x(?1)r，∴取r?5即第6项系数为负值为最小：
?C11??C11??426
又如：?1?2x?2004?a0?a1x?a2x2?……?a2004x2004?x?R?，则
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