第二章 二次函数
一、选择题(本大题共7小题，共28分)
1．已知抛物线y＝ax＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有( ) A．最小值－3 B．最大值－3 C．最小值2 D．最大值2
2．已知二次函数y＝ax＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：
22
x y 则该二次函数图象的对称轴为( ) 5
A．y轴 B．直线x＝
23
C．直线x＝2 D．直线x＝ 2
3．若二次函数y＝(m－1)x－mx－m＋1的图象过原点，则m的值为( ) A．±1 B．0 C．1 D．－1
2
2
－1 5 0 1 1 －1 2 －1 3 1 图8－Z－1
4．一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图8－Z－1所示，则二次函数y＝ax＋bx＋c的图象大致为( )
cx2
图8－Z－2
5．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为( )
A．y＝36(1－x) B．y＝36(1＋x) C．y＝18(1－x) D．y＝18(1＋x)
2
2
图8－Z－3
6．如图8－Z－3是二次函数y＝ax＋bx＋c图象的一部分，图象过点(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，给出四个
2
?5??1?2
结论：①b＞4ac；②2a＋b＝0；③a＋b＋c>0；④若点B?－，y1?，C?－，y2?为函数图象上的两点，则y1＜y2.其中正
?2??2?
确的是( )
A．②④ B．①④ C．①③ D．②③
图8－Z－4
7．如图8－Z－4，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为( )
A．(2，2) B．(2，2) C．(2，2) D．(2，2)
二、填空题(本大题共5小题，共25分)
8．函数y＝(x－2)(3－x)取得最大值时，x＝________．
9．将抛物线y＝2(x－1)＋2向左平移3个单位，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为____________．
10．如图8－Z－5，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8 m，以隧道底部宽AB所在直线为x轴，以AB垂12
直平分线为y轴建立如图2－Z－7所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为y＝－x＋b，则隧道底部宽AB为
2________m.
2
2
图8－Z－5 图8－Z－6
11．如图8－Z－6所示，已知抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①b>0；②a－b＋c<0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b＝4a.
12．二次函数y＝x－2x－3的图象如图8－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为2 3个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________________．
2
2
2
2
图8－Z－7
三、解答题(共47分)
13．(14分)如图8－Z－8，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，若AB＝x，四边形
EFGH的面积为y.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．
图8－Z－8
14．(16分)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元，每月要少卖10件；售价每下降1元，每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为(60＋x)元/件(x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降)，每月饰品销量为y件，月利润为w元．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润； (3)为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？
15．(17分)如图8－Z－9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，P是直线BC下方抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积．
图8－Z－9
详解详析
1．B [解析] 因为抛物线开口向下，其顶点坐标为(2，－3)，所以该抛物线有最大值－3.故选B.
2．D [解析] 观察表格可知，点(0，1)与点(3，1)、点(1，－1)与点(2，－1)的纵坐标分别相等，所以可知它们0＋31＋23
分别关于图象的对称轴对称，进而可求得对称轴为直线x＝(或)＝.故选D.
222
3．D 4.C 5.C
6．B [解析] ①由抛物线与x轴有两个交点，得b－4ac＞0，所以①正确；②因为对称轴为直线x＝－1，则－
2a＝－1，即2a－b＝0，所以②错误；③因为抛物线经过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则抛物线与x轴的另一个
2
b?5??1?交点为(1，0)，于是有a＋b＋c＝0，所以③错误；④点B?－，y1?在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C?－，y2?在?2??2?
对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y1＜y2，所以④正确．故选B.
5
7．C 8. 2
9．y＝2(x＋2)－2(或y＝2x＋8x＋6)
12
10．8 [解析] 由题意可知抛物线y＝－x＋b的顶点坐标为(0，8)，
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∴b＝8，∴抛物线的函数表达式为y＝－x＋8.
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当y＝0时，0＝－x＋8，解得x＝4或－4，
2∴水面宽AB＝4＋4＝8(m)．故答案为8. 11．③④ [解析] 由题图知，抛物线开口向上， ∴a>0.又对称轴在y轴的右侧， ∴x＝－>0，
2a∴b<0，①错误．当x＝－1时，抛物线在x轴上方，
∴y＝a－b＋c>0，②错误．设平移后的抛物线顶点为E，与x轴右边的交点为D，则阴影部分的面积与平行四边形
2
2
bCEDB的面积相同．
∵平移了2个单位长度，点C的纵坐标是－2，∴S＝232＝4，③正确．由抛物线的顶点坐标公式，得yC＝－2， 4ac－b∴＝－2.
4a∵c＝－1，解得b＝4a，④正确．故填③④. 12．(1＋7，3)或(2，－3)
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