2009—2010学年度第二学期 化学、应化、食品加工、质检、酿酒、农业资源
与环境、国贸、财会、市营、旅游管理、小学教育（09本科）专业
线性代数试卷（A卷）答案
一.选择题（每小题5分，共25分） 1．（C）；2．（ A ）；3．（C ）；4.（ D ）；5. ( A ) ?1?二．利用初等变换求矩阵A?2??0??1解：(A?E)??2??0?3501111000103501??1的逆矩阵。（13分） ?1???1?0??0?3?101?111?200100??0 ?1??0?r2?2r1???0???1???1r2?(?1)?????0??0??1r1?3r2?????0??0?3100103?10111001120?5200?103?100?r1?r3r2?r3???0???1???1?0??0?3100011200?10?1???1 ?1??2???1，------------11分（写对矩阵3分，每个变换2分） ?1??所以A?1??5??2??0?2???1 --------------13 分 ?1??a0a0a1xa1?a1a2a2x?a2??????ananan。（13分） ?x三．计算行列式D?a0?a0a00a1x?a10?0a20x?a2??an00?解：第一行乘以（－1）加到以下各行上去， --------------------5分
n得D?0?0＝a0?(x?ai)--------------------13分
i?10?x?an??????????????2??,?,????????????3?四．已知向量组123线性无关，且1，，。12123123第 1 页
证明向量组?1,?2,?3线性无关。（12分）
???????????解：设k1?1?k2?2?k3?3?0，即k1(2?1)?k2(?1??2)?k3(?1??2?3?3)?0
????整理得 (2k1?k2?k3? 0 ---------------------------5分 )1?(k2?k?)2?3k?3?33?2k1?k2?k3?0????k2?k3?0， -------------------------9分 由于?1,?2,?3线性无关，故有 ??3k3?0?211011?6?0，所以方程组有唯一零解：k1?k2?k3?0，----11分 3???系数行列式D?00所以?1,?2,?3线性无关。 -------------------------12分 ?x1?x2?x3?x4?1?x2?2x3?2x4?3 有解，五．求a的值，使线性方程组?并求此线性方程组的通解。?3x?2x?x?x?a234?1（18分）
解：对增广矩阵实施初等行变换
????1???0A??3??1? ?0?0?11211012112012111??r3?(?3)r13??????a???1?0??0?11?112?212?2??r3?r23???? ?a?3??1?1??)，线性方程组有解。--------------6分 23，当a?0时，r(A)?r(A?0a??0?1?1??2?1223 ----------------7分
?000a???1?r1?(?1)r2此时，继续变换，得 ?????0??0??x1?x3?x4?2??所以，原方程组等价于?，令x3?x4?0，得特解??(?2,3,0,0)。
?x2??2x3?2x4?3--------------10分 ?x1?x3?x4?x3?1?x3?0对应的齐次方程组等价于?，分别令?，?，则得到对应的
x??2x?2xx?0x?134?2?4?4????,2,1,，0?)2?(1,?2,0,1) --------------16分 齐次方程组的基础解析 ?1?(1?????所以原方程组的通解为??k1?1?k2?2??（k1，k2为任意常数）。 ---------------18分
222六．设二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3
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1、写出此二次型的系数矩阵A。
??2、用正交变换x?Py将此二次型化为标准形，并求所用的正交变换矩阵P。（19分） ?1?解：1、A??2??2??2?242??4 ------------------2分 ??2????12、det(?E?A)?2?22?2?4??2?42?2?41r3?r2??1202?2?4
???2??24??2??2?2?4 1??1 ＝(??2)20??1c2?(?1)c3??21?(??2)20??60 ＝(??2)2(??7) -------------------5分
222得到A的特征值为?1??2?2，?3??7。则化为标准形为f?2y1?2y2?7y3。
??对于?1??2?2，解齐次方程组(2E?A)x?0，对系数矩阵做初等行变换
------------------9分
?1?(2E?A)??2??2?24?4?2?r2?(?2)r1?r3?2r1?4??????4???1?0??0?200?2??0 ?0?????x2?1??，得?1?(?2,1,0)(2E?A)x?0等价于x1??2x2?2x3，令?x?0?3?2?(2,0,1)???。正交化：?1??1?(?2,1,0)，
???1??2,＝1,0(2,)4,5)
5???x2?0；令?，得
x?1?3?(?2,?1)??4??( ?2??2????1?(2,0,1?)5(?1,?1)??21245??再标准化：?1?(?,,0)，?2?(,,) ---------------15分
55353535??对于?3??7，解齐次方程组(?7E?A)x?0，对系数矩阵做初等行变换
1??8?(?7E?A)??2??2??0?2??0?1?502?5?4?2?r1?4r2?r3?r2?4??????5???0?2??0??18?5?9?0??1??0?r1?(?)?18?18?r3?9r1?4?????
??9??1??r2?5r1?4?????0???0?2??0?1001?1r2??21?????0??1001??1???，(?7E?A)x?0等价于2?0??第 3 页
1???x1??x3，令x3?2，得?3?(?1,?2,2)2??x??x3?2?。标准化得?3?(??13,?22?,)，所求的正 33 ------------------18分 ????????交变换矩阵为Q?(?1,?2,?3)??????251502354355351??3?2??? ----------------19分 3?2??3??第 4 页