A企业可获得25万元利润，B企业可获得2万元利润；若A企业不做广告，B企业做广告，A企业可获得10万元利润，B企业可获得12万元利润；若A、B两企业都不做广告，A企业可获得30万元利润，B企业可获得6万元利润。 （1）画出A、B两企业的损益矩阵。（2）求纯策略纳什均衡。 答：（1）画出A、B两企业的损益矩阵。 做广告 A企业 做广告 不做广告 20，8 10，12 B企业 不做广告 25，2 30，6 （2）求纯策略纳什均衡。 （做广告，做广告）
2、可口可乐与百事可乐（参与者）的价格决策：双方都可以保持价格不变或者提高价格（策略）；博弈的目标和得失情况体现为利润的多少（收益）； 利润的大小取决于双方的策略组合（收益函数）； 博弈有四种策略组合，其结局是： （1）双方都不涨价，各得利润10单位；
（2）可口可乐不涨价，百事可乐涨价，可口可乐利润100，百事可乐利润-30； （3）可口可乐涨价，百事可乐不涨价，可口可乐利润-20，百事可乐利润30； （4）双方都涨价，可口可乐利润140，百事可乐利润35； 画出两企业的损益矩阵求纳什均衡。 答：（1）画出A、B两企业的损益矩阵 原价 可口可乐 （2）求纳什均衡。
两个：（原价，原价），（涨价，涨价） 3、假定某博弈的报酬矩阵如下：
甲
上 下
百事可乐 涨价 100，-30 140，35 原价 涨价 10，10 -20，30 乙 左 a,b e,f 6
右 c,d g,h (1)如果（上，左）是上策均衡，那么，a>?, b>?, g?
答：a>e, b>d, f>h, g (2)如果（上，左）是纳什均衡，上述哪几个不等式必须满足？ 答：a>e, b>d 4、 北方航空公司和新华航空公司分享了从北京到南方冬天度假胜地的市场。如果它们合作，各获得500000元的垄断利润，但不受限制的竞争会使每一方的利润降至60000元。如果一方在价格决策方面选择合作而另一方却选择降低价格，则合作的厂商获利将为零，竞争厂商将获利900000元。 （1）将这一市场用囚徒困境的博弈加以表示。 答： 合作 新华航空公司 合作 竞争 500000，500000 900000，0 北方航空公司 竞争 0，900000 60000，60000 （2）解释为什么均衡结果可能是两家公司都选择竞争性策略。 答：若新华选择“竞争”，则北方也会选择“竞争”（60000>0）；若新华选择“合作”，北方仍会选择“竞争”（900000>500000）。 若北方选择“竞争”，新华也将选择“竞争”（60000>0）；若北方选择“合作”，新华仍会选择“竞争”（900000>0）。 由于“竞争”为双方的占优策略，故均衡结果为两家公司都选择竞争性策略。 5、博弈的收益矩阵如下表： 左 上 甲 下 e，f g，h （1）如果（上，左）是占优策略均衡，则a、b、c、d、e、f、g、h之间必然满足哪 些关系？（尽量把所有必要的关系式都写出来） 答：从占优策略均衡的定义出发： 对甲而言，策略“上”（a,c）优于策略“下”（e,g）； 对乙而言，策略“左” （b,f）优于策略“右”(d,h)。 7 乙 右 c，d a，b 所以结论是：a>e, b>d, f>h, c>g （2）如果（上，左）是纳什均衡，则（1）中的关系式哪些必须满足？ 答：纳什均衡只需满足：a>e, b>d （3）如果（上，左）是上策均衡，那么它是否必定是纳什均衡？为什么？ 答：占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡的条件包含了纳什均衡的条件。 （4）在什么情况下，纯策略纳什均衡不存在？ 答：当对每一方来说，任意一种策略组合都不满足纳什均衡时，纯战略纳什均衡就不存在。 6、设啤酒市场上有两家厂商，各自选择是生产高价啤酒还是低价啤酒，相应的利润（单位：万元）由下图的得益矩阵给出： 低价 低价 甲 高价 -20，-30 900，600 （1）有哪些结果是纳什均衡？ 答：（低价，低价），（高价，高价） （2）两厂商合作的结果是什么？ 答：无法确定 7、猪圈里有一头大猪和一头小猪，猪圈的一头有一个饲料槽，另一头装有控制饲料供应的按钮。按一下按钮就会有10个单位饲料进槽，但谁按谁就要付出2个单位的成本。谁去按按纽则谁后到；都去按则同时到。若大猪先到，大猪吃到9个单位，小猪吃到一个单位；若同时到，大猪吃7个单位，小猪吃3个单位；若小猪先到，大猪吃六个单位，小猪吃4个单位。各种情况组合扣除成本后的支付矩阵可如下表示（每格第一个数字是大猪的得益，第二个数字是小猪的得益）： 按 按 大猪 等 求纳什均衡。 9，-1 0，0 5，1 小猪 等 4，4 100，800 乙 高价 50，50 8 答：纳什均衡为：大猪“按”，小猪“等”，即（按，等） 8、用反应函数法结合图解法，求出下列博弈的所有纯策略纳什均衡。 参与人1 B 4,4 5,2 A 甲 2,3 参与人2 乙 3,2 丙 3,4 0,1 C 3,1 4,1 1,4 D 3,1 4,1 -1,2 答：（1）参与人1的反应函数： R1(2)=B,若2选择甲 =B,若2选择乙 =A,若2选择丙 =C或D,若2选择丁 参与人2的反应函数： R2(1)=丙,若2选择A =甲,若2选择B =丙,若2选择C =丙,若2选择D （2）求共集，得纯策略纳什均衡为（B，甲）与（A，丙） 9、求出下面博弈的纳什均衡(含纯策略和混合策略)。 甲 U D 乙 L 5,0 2,6 R 0,8 4,5 丁 0,3 1,2 10,2 10,1 解：（1）纯策略Nash均衡：由划线法可知，该矩阵博弈没有纯策略Nash均衡。 9 （2）混合策略Nash均衡 设甲选择“U”的概率为P1，则选择“D”的概率为1-P1 乙选择“L”的概率为P2，则选择“R”的概率为1-P2 对甲而言，最佳策略是按一定的概率选“U”和“D”，使乙选择“L”和“R”的期望值相等 即 P1*0+(1-P1)*6= P1*8+(1-P1)*5 解得 P1=1/9 即（1/9,8/9）按1/9概率选“U”、8/9概率选“D”为甲的混合策略Nash均衡 对乙而言，最佳策略是按一定的概率选“L”和“R”，使乙选择“U”和“D”的期望值相等 即 P2*5+(1-P2)*0= P2*2+(1-P2)*4 解得 P2=4/7 即（4/7,3/7）按4/7概率选“L”、3/7概率选“R”为乙的混合策略Nash均衡 10、根据两人博弈的损益矩阵回答问题： 甲 上 下 (1) 写出两人各自的全部策略。 答：全部策略：（上，左），（上，右），（下，左），（下，右） (2) 找出该博弈的全部纯策略纳什均衡。 答：由划线法可知，该矩阵博弈全部纯策略Nash均衡为 （上，左）和（下，右）两个 (3) 求出该博弈的混合策略纳什均衡。 解：设甲选择“上”的概率为P1，则选择“下”的概率为1-P1 乙选择“左”的概率为P2，则选择“右”的概率为1-P2 对甲而言，最佳策略是按一定的概率选“上”和“下”，使乙选择“左”和“右”的期望值相等 乙 左 2,3 0,0 右 0,0 4,2 10