第3讲 平面向量
高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.
真 题 感 悟
1.(2016·北京卷)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件. 答案 D
12.(2016·山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝3.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( ) A.4 9C.4 B.－4 9D.－4
解析 ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|231
＝0，由已知得t×4|n|2×3＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B. 答案 B
3.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________. 解析 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2. 答案 －2
4.(2016·浙江卷)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________. 解析 法一 由已知可得：
6≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e| 由于上式对任意单位向量e都成立. ∴6≥|a＋b|成立.
∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b. 1即6≥5＋2a·b，∴a·b≤2. 法二 由题意，令e＝(1，0)，a＝(cos α，sin α)，b＝(2cos β，2sin β)，则由|a·e|＋|b·e|≤6可得|cos α|＋2|cosβ|≤6 ①.令sin α＋2sin β＝m ②， ①2＋②2得4|cos α cos β|＋sin αsin β]≤1＋m2对一切实数α，β恒成立，所以4|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1.
1故a·b＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2|cos αcos β|＋sin αsin β]≤2. 1答案 2
考 点 整 合
1.平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.
2.平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 3.平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 →|＝（x－x）2＋（y－y）2. |AB2121
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， x1x2＋y1y2a·b
则cos θ＝|a||b|＝2222.
x1＋y1x2＋y24.平面向量的三个锦囊