当金属杆ab获得沿x轴正方向的初速v0时，因切割磁力线而产生感应电动势，由两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流．由于回路具有自感系数，感应电流的出现，又会在回路中产生自感电动势，自感电动势将阻碍电流的增大，所以，虽然回路的电阻为零，但回路的电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab的安培力将使ab杆减速，作用于cd杆的安培力使cd杆运动．
设在任意时刻t，ab杆和cd杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），当v1、v2为正时，表示速度沿x轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势
E?Bl?v1?v2?
(1)
当回路中的电流i随时间的变化率为?i?t时，回路中的自感电动势
根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有
EL??L?i ?t(2)
E?EL?0
(3)
金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动．设系统质心的速度为VC，有 得
mv0?2mVC
(4)
VC?v0 2(5)
VC方向与v0相同，沿x轴的正方向．
现取一新的参考系S?，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点O?，取坐标轴O?x?与x轴平行．设相对S?系，金属杆ab的速度为u，cd杆的速度为u?，则有
v1?VC?u v2?VC?u?
(6) (7)
因相对S?系，两杆的总动量为零，即有
mu?mu??0
由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得
(8)
2Blu?L?i ?t(9)
在S?系中，在t时刻，金属杆ab坐标为x?，在t＋?t时刻，它的坐标为x???x?，则由速度的定义
代入 (9) 式得
16
u??x? ?t(10)
2Bl?x??L?i (11)
若将x?视为i的函数，由（11）式知?x??i为常数，所以x?与i的关系可用一直线方程表示
x??Li?b 2Bl1这时i = 0，x0，2(12)
式中b为常数，其值待定．现已知在t＝?时刻，金属杆ab在S?系中的坐标x?＝故得
x??i?L1i?x0 2Bl2(13)
或
2Bl?1??x??x0? L?2?(14)
1?1?x0表示t＝?时刻金属杆ab的位置．x?表示在任意时刻t，杆ab的位置，故?x??x0?就
2?2?是杆ab在t时刻相对初始位置的位移，用X表示，
X?x??1x0 2(15)
当X>0时，ab杆位于其初始位置的右侧；当X<0时，ab杆位于其初始位置的左侧．代入(14)式，得
这时作用于ab杆的安培力
i?2BlX L(16)
2B2l2F??iBl??X (17)
Lab杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质．金属杆ab的运动是简谐振动，振动的周期
T?2π?m 222BlL?(18)
在任意时刻t， ab杆离开其初始位置的位移
?2π?X?Acos?t???
?T?(19)
A为简谐振动的振幅，??为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得ab杆的振动速度
?2π??2π?t??? u??A??sin??T??T? (19)、(20)式分别表示任意时刻ab杆离开初始位置的位移和运动速度．现已知在t＝0时刻，ab
杆位于初始位置，即
17
(20)
速度
故有
解这两式，并注意到(18)式得
X = 0
11u?v0?VC?v0?v0?v0
220?Acos?
v0?2π???A??sin? 2?T???3π2
A?v0vT?04?2BlmL 2 (21)
由此得ab杆的位移
(22)
X?v02BlmL3π?v?2πcos?t???022?2Bl?TmL2πsint 2T（23）
由 (15) 式可求得ab杆在S?系中的位置
??xabv1x0?022BlmL2πsint 2T(24)
因相对质心，任意时刻ab杆和cd杆都在质心两侧，到质心的距离相等，故在S?系中，cd杆的
位置
相对地面参考系S，质心以VC?系中的位置
cd杆在S系中的位置
回路中的电流由 (16) 式得
v1???x0?0xcd22BlmL2?sint 2T(25)
1v0的速度向右运动，并注意到（18）式，得ab杆在地面参考2v1v0t?022BlmL?2??t sin?Bl?2mL???xab?x0?(26)
xcd?v1v0t?022BlmL?2??t sin?Bl?2mL???（27）
18
2Blv0i?L2Bl?mL2πm2???t sint?v0sin?Bl2T2L?mL??(28)
解法Ⅱ：
当金属杆在磁场中运动时，因切割磁力线而产生感应电动势，回路中出现电流时，两金属杆都要受到安培力的作用，安培力使ab杆的速度改变，使cd杆运动．设任意时刻t，两杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向，则由两金属杆与导轨构成的回路中，因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为
令u表示ab杆相对于cd杆的速度，有
E?Bl?v1?v2?
(1’)
EL?Blu
(2’)
当回路中的电流i变化时，回路中有自感电动势EL，其大小与电流的变化率成正比，即有
根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有
由式(2’)、(3’)两式得
EL??L?i ?t
(3’)
E?EL?0
Blu?L?i ?t(4’)
设在t时刻，金属杆ab相对于cd杆的距离为x?，在t＋?t时刻，ab相对于cd杆的距离为x?＋?x?，则由速度的定义，有
代入 (4?) 式得
u??x? ?t(5’)
Bl?x??L?i (6’)
若将x?视为i的函数，由(6’)式可知，?x??i为常量，所以x?与i的关系可以用一直线方程表示，即
x??Li?b Bl(7’)
式中b为常数，其值待定．现已知在t＝?时刻，金属杆ab相对于cd杆的距离为x0，这时i = 0，故得
L(8’) i?x0
BlBl或 (9’) i??x??x0?
Lx0表示t＝?时刻金属杆ab相对于cd杆的位置．x?表示在任意时刻t时ab杆相对于cd杆的
x?? 19
位置，故?x??x0?就是杆ab在t时刻相对于cd杆的相对位置相对于它们在t＝?时刻的相对位置的位移，即从t＝?到t＝t时间内ab杆相对于cd杆的位移
(10') X?x??x0 于是有
i?BlX L(11’)
任意时刻t，ab杆和cd杆因受安培力作用而分别有加速度aab和acd，由牛顿定律有
两式相减并注意到(9?)式得
?iBl?maab iBl?macd
2B2l2?acd???2iBl??X
L(12’) (13’)
m?aab(14’)
2B2l2 式中?aab?acd?为金属杆ab相对于cd杆的加速度，而X是ab杆相对cd杆相对位置的位移．L是常数，表明这个相对运动是简谐振动，它的振动的周期
T?2π?m 222BlL?(15’)
在任意时刻t，ab杆相对cd杆相对位置相对它们初始位置的位移
?2π?X?Acos?t???
?T?(16’)
A为简谐振动的振幅，??为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得X随时间的变化率即速
度
?2π??2π?V?A??sin????
?T??T?(17’)
现已知在t＝0时刻，杆位于初始位置，即X = 0，速度V?v0 故有
解这两式，并注意到(15’) 式得
0?Acos?
?2π?v0??A??sin?
?T???3π2
20