实验报告
一、实验名称
噪声中正弦信号的现代法频谱分析
二、实验目的
通过对噪声中正弦信号的现代法频谱分析，来理解和掌握现代谱估计的基本概念，以及学会应用现代谱估计以及改进后的方法。
三、基本原理
1．参数模型法是现代谱估计的主要内容，思路如下：
① 假定所研究的过程x(n)是由一个输入序列u(n)激励一个线性系统H(z)的输出； ② 由已知的x(n)，或其自相关函数rx(m)； ③ 由H(z)的参数来估计x(n)的功率谱。
2．自回归模型，简称AR模型，它是一个全极点的模型。“自回归”的含义是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p个输出的加权和。此模型可以表现为以下三式：
① x(n)???akx(n?k)?u(n)；
k?1p② H(z)?1?A(z)11??akz?kk?1p；
③ Px(e)?jw?21??ake?jwkk?1p2。
3．AR模型的正则方程建立了参数ak和x(n)的自相关函数的关系，公式如下：
rx(m)???akrx(m?k) m?1时，rx(m)???akrx(k)??2 m?0时。
k?1k?1pp4．Levinson-Durbin算法：从低阶开始递推，直到阶次p，给出了在每一个阶次时的所有参数。公式如下：
① km??[?am?1(k)rx(m?k)?rx(m)]/?m?1；
k?1m?1② am(k)?am?1(k)?kmam?1(m?k)；
2]。 ③ ?m??m?1[1?km5. 自相关法：使用线性预测的方法来计算不同阶数下的预测器系数，使用前向线性预测，
1?f(n)?x(n)?x?(n)?x(n)??akx(n?k)，预测误差为e预测均方误差为E[e(n)]?Nk?12fpN?p?1n?0?e2f{n}，
使前向预测误差功率相对AR参数ak最小，将反射系数代入Levinson-Durbin算法即可求解。 6．Burg法：使用线性预测的方法来计算不同阶数下的预测器系数，其同时使用前向和后向线性预测，在线性预测加MMSE准则下，使前向和后向预测误差的平均功率相对各阶反射系数km最小，将反射系数代入Levinson-Durbin算法即可求解。
7．协方差法：使用线性预测的方法来计算不同阶数下的预测器系数，其同时使用前向和
1后向线性预测，预测均方误差为E[e(n)]?N2f2e?f(n)，使前向预测误差功率相对AR参数akn?pN?1最小，不经过Levinson-Durbin关系式直接求解AR参数。
8．改进协方差法：用线性预测的方法来计算不同阶数下的预测器系数，其同时使用前向和后向线性预测，使前、后向预测误差平均功率相对AR参数ak最小。
四、主要编程步骤
（一）信号生成：构造两个正弦信号的叠加，中心频率为100Hz和120Hz，初始相位为0，在信号中加入方差为1，信噪比为10dB的高斯白噪声。
信号的时域波形1050-5-10x0200400600t80010001200
信号幅频谱图600400幅值20000200400600频率(Hz)8001000
（二）进行功率谱估计
1．进行经典谱估计与现代谱估计方法的对比，以周期图法和自相关法为例，周期图法调用函数[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs)，自相关法调用了[Pxx,f]=pyulear(x,p,Num_fft,fs)。 2．使用自相关法，改变信噪比，采样点数为256点，阶次为100阶，分别为-15dB, -10dB, 10dB, 30dB，分别进行功率谱估计，画功率谱图。信噪比的改变是根据换算出两路信号的振幅来实现的，A1=sqrt(2*10^(SNR1/10))。
3．使用自相关法，改变谱估计的阶次，采样点数为256点，信噪比为10dB，阶次分别为10，50，100，200时，分别进行功率谱估计，画功率谱图。
4. 实现自相关法，Burg法，协方差法，改进协方差法，采样点数为256点，阶次为100阶，进行四种方法的对比。Burg法调用了[Pxx,f]=pburg(x,p,Num_fft,fs)，协方差法调用了[Pxx,f]=pcov(x,p,Num_fft,fs)，改进协方差法调用了[Pxx,f]=pmcov(x,p,Num_fft,fs)。
五、实验结果及分析
1. 经典谱估计与现代谱估计方法的对比
参数：信号中心频率为100Hz和120Hz，采样点数均为256，信噪比为10dB,自相关法进行谱估计的阶次为100阶。
分析：自相关法较周期图法的方差性能要好，谱分辨率有所提高。
2．自相关法，改变信噪比
参数：信号中心频率为100Hz和120Hz，采样点数为256点，阶次为100阶，信噪比分别为-15dB, -10dB, 10dB, 30dB。
分析：降低信噪比从10dB降低到-10dB时，最大旁瓣衰减有所减小，再降低到-15dB时，几乎不能分辨出两个峰。可见，信噪比越高，曲线效果越好。
3．自相关法，改变谱估计的阶次
参数：信号中心频率为100Hz和120Hz，采样点数为256点，信噪比为10dB，阶次分别为10，50，100，200。
分析：阶次为10阶时，峰值被平滑掉，阶次为200时出现虚假峰值。当阶数适中，N=256，阶数p在N/3与N/2之间，如p=100时，分辨率较好，且没有虚假峰值。
4．自相关法，Burg法，协方差法，改进协方差法等四种方法实现谱估计的对比
参数：信号中心频率为100Hz和120Hz，采样点数为256点，阶次为100阶，信噪比为
20dB。
分析：Burg法较自相关法有较高的谱分辨率，这是因为不需要估算自相关函数的原因。Burg法稳定，而协方差法明显出现了不稳定的现象，改进的协方差法性能较好，谱分辨率有所提高，但不能保证系统稳定。 六、结论
1. 自相关法较周期图法的方差性能要好，谱分辨率有所提高。 2．降低信噪比降低，最大旁瓣衰减会随之减小，降低到一定值时几乎不能分辨出两个峰。可见，信噪比越高，曲线效果越好。
3．阶次过低时，峰值被平滑掉，阶次过高时出现虚假峰值。根据经验法则获得的阶次会克服以上缺点，获得良好的效果。
4．Burg法较自相关法有较高的谱分辨率，Burg法比较稳定，协方差法不稳定，改进的协方差法性能较好，谱分辨率有所提高，但不能保证系统稳定。