10. 已知：1×2×3×4×……×1998
n21×a ＝
其中：21表示有n个21连乘，a是自然数，求n的最大值。
n试题三答案 1. （1）如果a?b表示（a－2）×b，例如3?4?(3?2)?4?4
那么，当a?5?30时，求a的值。
a?5?(a?2)?55a?10?305a?40?a?8
（2）a、b、c是1～9中的不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a＋b＋c）的多少倍？
abc?acb?bac?bca?cab?cba?200(a?b?c)?20(a?b?c)?2(a?b?c)?222(a?b?c)
2. （1）大、小两个长方形对应边的距离是5厘米，如图，两个长方形之间部分的面积是1000平方厘米，求：大长方形的周长。
5
设大长方形长为a厘米，宽为b厘米，则小长方形的长为（a－b）厘米，宽为（b－10）厘米 据题意：
ab?(a?10)(b?10)?1000ab?[ab?10a?10b?100]?100010a?10b?1100?a?b?110?大长方形周长为：2(a?b)?220(厘米)
（2）口袋中装有10种不同颜色的珠子，每种都是100个，要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子。
从最不利的情况考虑，他摸出2种颜色的珠子每种100个，剩下8种颜色的珠子每种摸出9个。此时，再摸出1个珠子，无论是剩下的8种颜色的哪一种，都可满足题意。
所以，至少要摸出 100×2＋9×8＋1 ＝273（个）
3. 把一根长1米的圆柱形铁棒锯成4段，每段仍是圆柱体，表面积比原来增加了24平方厘米，求，这根铁棒的体积多少立方分米。
锯成4段需锯3次，每锯1次表面积增加两个底面面积。共增加了6个底面积，所以，圆柱底面面积是：
24÷（2×3）＝4（平方厘米）
?铁棒的体积是
0.04×10＝0.4（立方分米）
4. 恰有两位数字相同的三位数共有多少个？ 方法1：
三位数各不相同的有 9×9×8＝648（个） 三位数字全相同的有9个
所以，在900个（三位数一共有900个）三位数中，恰有两位数字相同的共有： 900－648－9＝243（个） 方法2：
三位数abc a=b≠c 9*9=81 a=c≠b 9*9=81
b=c≠a b=c=0 有9种；b=c≠0 9*8=72 共81+81+9+72=243
5. 杨静新买的手表比家里的挂钟每小时快30秒，家里的挂钟每小时比标准时间慢30秒。杨静的手表是快还是慢？一昼夜差多少秒？
一小时是3600秒，据题意，手表走3630秒，挂钟走3600秒，挂钟走3570秒是标准时间的3600秒。 所以标准时间走3600秒，手表走：
3630÷3600×3570 ＝3599.75（秒）
所以，一昼夜24小时，手表慢 （3600－3599.75）×24 ＝6（秒）
6. 将9张面积都是9的图形，放在面积为45的桌面上，（不能超出桌面），能否使其中任意两个图形相互重叠的面积都小于1？
如果能，将9个图形依次编号为1～9号，1号与2～9号重叠的面积小于8，2号与3～9号重叠的面积小于7……，8号与9号重叠的面积小于1。
总重叠面积必小于： 1＋2＋3＋……＋8＝36
那么，九个图形所占的总面积必大于 9×9－36＝45
与题意矛盾，所以不能。
7. 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后，就立即下山，他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时，乙距山顶还有400米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求：山脚到山顶的距离。
1如果两人下山的速度与他们各自上山的速度相同，题中相应的条件应变为：“甲下山路走了2，乙下山1路走了4。”
1因为，甲到山顶时比乙多走了400米，所以，甲下山路走了2，应比乙多走： 1400×（1＋2）＝600（米）
1而这时乙下山路走了4，知，甲、乙的距离是山路的： 1112－4＝4
1即山路的4是600米，所以从山脚到山顶的距离为： 1600÷4＝2400（米）
8. 有三块草地，面积分别为4亩、8亩和10亩，草地上的草一样厚，而且生长的一样快，若第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：第三块草地可供50头牛吃几周？
将第一块草地及牛的头数都扩大到原来的2倍，变为：8亩草地可供48头牛吃6周。对比第二块草地，8亩草地可供36头牛吃12周。设1头牛1周吃的草为1份，则8亩地每周可长草：
（36×12－48×6）÷（12－6） ＝24（份） 8亩草地原有草：
（36－24）×12＝144（份） 由此推知，10亩草地原有草： 144÷8×10＝180（份） 每周长草： 24÷8×10＝30（份） 可供50头牛吃
180÷（50－30）＝9（周）
9. 某工厂生产一种圆盘形玩具。在圆盘正面的圆周上均匀分布安装10个小球，其中3个为红球，7个为白球，如图所示，若两个圆盘都正面朝上，可以圆心对圆心，红球对红球，白球对白球叠放在一起，就算同一种规格。问：这类玩具一共可以有多少种不同的规格？
按两个红球间隔白球的数量分类。
用黑点代表红球，空心点代表白球，最多间隔3个白球的有2种不同规格：
最多间隔4个白球的有4种不同规格：
类似地，最多间隔5个白球的有3种不同的规格，最多间隔6个白球的有2种不同规格。 最多间隔7个白球的有1种规格。 所以，共有不同规格： 2＋4＋3＋2＋1＝12（种） 10. 已知：1×2×3×4×……×1998
n＝21×a
其中：21表示有n个21连乘，a是自然数，求，n的最大值。 21＝3×7
分3与7两种情况讨论，用［ ］表示一个数的整数部分。 这1998个因数中，7的倍数有 ［1998÷7］＝285（个）
就是说有：7×1，7×2，7×3……7×285＝1995，共285个，在这285个因数中，是7的倍数的共有： ［285÷7］＝40（个）
在上面的40个因数中，是7的倍数的有： ［40÷7］＝5个
所以，原题左式中有质因数7的个数： 285＋40＋5＝330（个）
同样的方法推出，原题左式有质因数3的个数为： 666＋222＋74＋24＋8＋2 ＝996（个） 因为996>330
所以，原因中有330个因数21
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