上述方法.当原函数在积分区间上不连续时,仍需采用定义求.
例4 求?解 易知
1dx． ?1x511111的一个原函数是.由于在??1,1?上不连续,故不能套用牛顿??4x4x5x4——莱布尼兹公式.否则,将导致若下错误：?111?41dx=?x|?1=0 ?1x54101111正确的解法应该是：?5dx=?5dx+?5dx 而
?1x?1x0x??11dxdx 5??1x5=?lim?0???1x01?4??=lim?x|?1 ??0?41=lim(1???4)， ?4??0不存在,所以?1dx发散． ?1x514.2 瑕积分计算可简化的第二种情形
设f(x)在?a,b?上连续,lim?f(x)??,x??(t)在??,??上单调且有连续导数,同时
x?a有?(?)?a,?(?)?b.则广义积分?f(x)dx与?f[?(t)]??(t)dt的敛散性相同,进一步,
ab??若除?点外,均有F?(t)?f[?(t)]??(t),则有
(1)若F(t)在??,??上连续,则?f(x)dx=?f[?(t)]??(t)dt=F(?)?F(?)(此处不一
ab??定有???,下同)
(2)当F(t)在??,??上无界时则?f(x)dx=?f[?(t)]??(t)dt发散.
ab??证明 不妨设x??(t)递增,这时???,对任意的??0,存在?t?0,使得
?????(???t),且???0等价于?t??0.
?baf(x)dx=lim?b???0a??f(x)dx=lim?t??0???t??f[?(t)]??(t)dt=lim[F(?)?F(???t)]
?t??0(1)当f(t)在??,??上连续时,?f(x)dx=F(?)?F(?)．
ab18
F(t)??,所以(2)当f(t)在??,??上无界时,这时只有lim?t???baf(x)dx=lim[F(?)?F(???t)]发散.
?t??0 类似的[14],可以证明当瑕点在区间?a,b?的右端点或内部时,(只要瑕点个个数为有限个)上述结论仍然成立,并可统一叙述为：
定理4.2 设函数f(x)在闭区间?a,b?上除有限个瑕点c1,c2,?cr外,在其余各点都连续,x??(t)在??,??上单调且有连续的导数,?(?)?a,?(?)?b,则广义积分
?baf(x)dx与?f[?(t)]??(t)dt的敛散性相同,若除瑕点对应的点外,均有
??F?(t)?f[?(t)]??(t),则有
(1)若F(t)在??,??上连续,则?f(x)dx=?f[?(t)]??(t)dt=F(?)?F(?)．
ab??(2)当F(t)在??,??上无界时则?f(x)dx=?f[?(t)]??(t)dt发散.证明可以仿照以
ab??上进行,这里不再重复.
例1 计算?32xdxx?1203．
解法一(按以上方法计算) x?1为瑕点 设u?x2?1,du?2xdx，
?32xdxx?1203??udu
?18?1232=u3|8?1 2=
解法二(按定义计算) ?39． 22xdxx2?103 =lim?1?0?0?1??132xdxx2?1+lim?2?0?1??23?32xdx9．
22x?1=两种运算结果一直,显然解法二比较麻烦.
例2
1??1x2dx．
1解 x?0为瑕点,因为
1??1x2dx发散.
111的原函数在??1,1?上有无穷间断点,所以 ?2xx19
?例3 求?20dx．
cosxsinx解 x?0,x???2为瑕点,令t?sinx,cosx?1?t4,dx?2tdt， cost?201112dt1111122dxdt[??]dtdt收敛,而=?=,显然,22???001?t4001?t21?t1?t1?t1?tcosxsinx?dx1的原函数?ln(1?t)在?0,1?内无界.所以?2发散.
01?tcosxsinx20
5 总结和展望
本文通过对瑕积分敛散性的判别方法和应用、含参量瑕积分一致收敛的判定和应用、瑕积分计算的简化的讨论，列出了瑕积分和含参量瑕积分敛散性的判别法，如柯西判别法、狄利克雷判别法等等，给出了判别法在瑕积分和含参量瑕积分在实际问题中的应用.通过对这些判别法的归纳、总结，使我们能较快的掌握这些方法，提高在实际问题中解题的速度和效率，达到了研究目的，收到了预期效果.
瑕积分是数学分析中的一个重点、难点，本文所做的这些还远远不能解决瑕积分中复杂多变的问题，由于本人所学的知识有限，希望在以后的学习工作中能够更深入地研究瑕积分，以使得瑕积分敛散的判别及应用越来越完善.
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