求E(???)。
解：据题意知，?,?的概率分布分别为
P{??i}?(1?p)i?1p，i?1,2,?； P{??j}?(1?p)j?1p，j?1,2,?。
??E(???)???ipij???jpij
j?1i?jj?1i?j???j?1???i(1?p)i?j?2p2???j(1?p)i?j?2p2
j?1i?jj?1i?1??j?1??qj?1p2(qj)j?11?q)???jqj?2p2q(1?qj?11?q
????(jq2j?2(1?q)?q2j?1)??jqj?1(1?qj?1)p
j?1j?1?3?2pp(2?p)。
12．袋中有r个红球与b个黑球，现从中任取n个球，求其中红球个数的数学期望。
解：以?表示任取n个球中红球个数，则
kn?kP{??k}?CrCbCn，k?0,1,2,?,l?min(r,n)
r?bllkn?k则E(?)??kP{??k}??kCrCbk?0k?0Cn r?bl??r!Cn?kb(k?1)!(r?k)!n
k?1Cr?bl?r?Ck?1Cn?kbr?1?b
k?1Cn?1r?b?1?rn?nrr?b
13．参加集会的n个人将他们的帽子混放在一起，会后每人任取一顶帽子戴上，以?表示他们中戴对自己帽子的人的个数，求
E(?)。
26
解
：
引
入
随
机
变
量
??1,第i个人戴对自己的帽子i??i?1,2,?,n
?0,第i个人未戴对自己的帽子，显然，???1??2????n ，且
P{?i?1}?1n，P{?i?0}?1?1n，
所以，
nnE(?)?E(?1??2????n)??E(?i)??1?P{?i?1}?0?Pi?1i?1
14．设袋中有2n个球，其中编号为k的球各Ckn个
（k?0,1,2,?,n），现不放回地从袋中任取m个（m?2n），求这些球上编号之和的数学期望。
解：令?i表示取出的第i个球上的编号，i?1,2,?,m，
k由抽签与顺序无关，P{?i?k}?Cn2n,k?0,1,...n
n则E(?i)??kCknk?02n?n2
所以m个球之和的数学期望
mE(?1??2?...??m)??E?i?mni?12
15．袋中有r个红球与b个黑球，现任意一一取出，直至取到红球为止，求取球次数的数学期望。
解：令?表示直至取到红球为止所进行的取球次数，则
P{??k}?b?2r?b?b?1r?b?1?br?b?2???b?kr?b?k?rr?b?，k?1,2,?,b?1，
所以，
b?1E(?)??kP{??k}
k?1b?1??k(b?b?1?b?2?kk?1r?br?b?1r?b?2???br?b?k?rr?b?
b?1??r?kk?1b?1b!(b?k?1)!(r?1)!b!(r?b)!b?1?(r?b?k?2)!(r?b)!(r?b?k?2)!E(?)?
2?k?1k?(1?21n)k?11n?1n???kqk?12k?1?1n??(?qk?1k?1)???1n?r?kk?1?(b?k?1)!(r?1)!?1n?(q21?q)???n?1n(1?q)?23?n?1n?2n?n3?
k?C?(r?b)!k?1r!b!r?1r?b?k?2
?2n?n，
所以，D(?)?E(?)?(E(?))222 ?2n?n?n?n?n。
222?3.2 习题
r?b?1r?1
2．若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为
?|x??| 1．某人有n把外形相似的钥匙，其中只有一把能打开门。现任意一一试开，直至打开门为止。试对如下二情形求试开次数?的方差：（1）每次试毕不放回；（2）每次试毕放回。
解：（1）?的可能取值为1,2,?,n。
p(x)?12?e?,???x??, ??0。试求D(?)。
解：E(?)??????12??|x??|xe?dx(令t?(x??)?)
????t??2?????e?|t|dtn?1n?2n?(i?1)11P{??i}???????，
nn?1n?(i?2)n?(i?1)ni?1,2,?,n
1n(n?1)n?1故E(?)??i???， ?nn22i?1n?????t2e?|t|dt??????2e?|t|dt?0????，
?|x??|D(?)?
?12?(x??)e2?(令t?(x??)?)1??21n(2n?3n?1)2n?3n?122E(?)??i????，
nn66i?1所
22n122????tedt??t(?e)2?t?02?t22?t?0?2??t2??0tedt
2?t?0?t?2?t(?e)。
?2?2??0tedt?2?(?e)?2?2以
D(?)?E(?)?(E(?))?。
（2）P{??k}?(1??2n?3n?162?(n?12)?2n?11223．甲从1,2,3,4中任取一数，乙再从1,?,?中任取一整数?，试求(?,?)的协方差。
1n)k?1?1n，k?1,2,?
解： ?可以取的值为1,2,3,4，那么?取每一个值的概率为
14。
故E(?)??k?(1?n)k?11k?11n?1n???kqk?1k?1?1n??(?q)?
k?1k一旦?取定值i，那么?只能从1,2,?,i中取值，取每一个值的概率为
。于是有：
1i?n121(1?P(,??j??P???j??i?P???i?? ?1???ni))4i11q?(1?q)?q(1?q)?111??()???????22n1?qnn(1?q)n(1?q)1q。
所以（?,?）的联合分布与边缘分布如下： 27
?1 \\? 1 2 3 4 p ?j D??D?1?D?2???D?m?（2）
112m(n?1)。
2140 0 0 18180 0 1121121120 11611611611614254813487481161 2 3 4 5．参加集会的n个人将他们的帽子混放在一起，会后每人任取一顶帽子戴上，以?表示他们中戴对自己帽子的人的个数，求
D(?)。
解
：
引
入
随
机
变
量
p?0,第i个人未戴对自己的帽子11E(??)?1?1??2?1??2?2??3?1??3?2??3?3??4?1??4?2?48812121216?? ，且 显然，??16?1??2??n11 ?4?3? ?4?4?111616P{?i?1}?，P{?i?0}?1?， nn ?5，
1E(?)?1?P{??1}?0?P{??0}?所以，， iii11115nE(?)?1??2??3??4??，
444421222E(?)?1?P{??1}?0?P{??0}?， iii2513717nE(?)?1??2??3??4??，
484848164112n?122D(?)?E(?)?(E(?))??()?， iii5752nnnCov(?,?)?E(??)?E(?)E(?)?5???。
24814．袋中有编号1至n的n张卡片，现从中任意抽取m张。试而P{?i?1,?j?1}?，i?j，
n(n?1)对以下二情形求m张卡片上编号之和的方差：（1）有放回抽取；（2）
111111不放回抽取（m?n）。
解：（1）设?表示抽取m张卡片的号码和，?i表示第i次抽
所
到卡片的号码，则
以
i? 14 14 14 ?i???1,第i个人戴对自己的帽子，i?1,2,?,n
E(?i?j)?1?P{?i?1,?j?1}?1n(n?1)，
，
???1??2????m，因为是有放回抽取，所以诸?i独立。
由此得，对i?1,2,?,m。
nC， 故
(?i,?j)?E(?i?j)?E(o?i)E(?j)?1n(n?1)?111?v?2nnn(nE(?i)??j?1nj?1n2?1nn?j?11n(n?1)n?1j???，
n22nD(?)?D(?1??2????n)?
n?D(?i?1i)?2?Cov(?1?i?j?ni,?j)E(?i)?，
2?j?11n(n?1)(2n?1)1j????(n?1)(2n?1)nn661?1?i?1n?1n2?2?Cn?21n(n?1)2?1。
D(?i)?E(?i)??E?i??2216(n?1)(2n?1)?14(n?1)?212(6n．设随机变量?1)(?,?,?)有联合密度函数
2，
p(x,y,z)?(x?y)ze28
?z，0?x,y?1,z?0，
求此随机变量的协方差阵。
解
：
由
于
E(?)?????????????xp(x,y,z)d????110x(x?y)ze?z700?dxdydz?12，
E(?)?????????????yp(x,y,z)dxdydz????1?1zdxdydz?712，
000y(x?y)ze?E(?)?????????????zp(x,y,z)dxdydz????11?z00?0z(x?y)zedxdydz?2， E(??)?????????????xyp(x,y,z)dxdydz????1?1dxdydz?13，
000xy(x?y)ze?zE(??)?????????????yzp(x,y,z)dxdydz????11?z，
00?0yz(x?y)zedxdydz?76E(??)?????????????xzp(x,y,z)dxdydz???11，
0?0?0xz(x?y)ze?zdxdydz?76所
以
，
Cov(?,?)?E(??)?E(?)E(?)?13?712?712??11，
Cov(?,?)?E(??)?E(?)E(?)?776?2?12?0，
Cov(?,?)?E(??)?E(?)E(?)?776?12?2?0，
而
E(?2)?????2????????xp(x,y,z)dxdydz????1?12?z，
000x(x?y)zedxdydz?512E(?2)?????2????????yp(x,y,z)dxdydz???112?z0?0?0y(x?y)zedxdydz?512，
E(?2)?????2????????zp(x,y,z)dxdydz???110?0?0z2(x?y)ze?zdxdydz?6，
29
所以，D(?)?E(?2)?(E(?))2?5712?(12)2?11144，
D(?)?E(?2)?(E(?))2?5721112?(12)?144， D(?)?E(?2)?(E(?))2?6?22?2，
故此随机变量的协方差阵为
??11?10??144144??11???1?1441440??。 ?002????7．设随机变量?1,?,?m?n（m?n）是独立同分布的，它们有有限的方差。求???1????n与???m?1????m?n之间的相关系数。
解：由于随机变量的相关系数与标准化随机变量的相关系数相等，为简单计，不妨设E(?2i)?0,E(?i)?1，
i?1,2,?,m?n，则
Cov(?,?)?E[(?1????n)(?m?1????m?n)]
?E(?22m?1??m?2????2n)?E(?2(4?22n?m4m?1)?Em?2)???E(?n)?， D(?)?E(?2221??2????n)?E(?2221)?E(?2)???E(?n)?n， D(?)?E(?222m?1??m?2????m?n)?E(?2m?1)?E(?22m?2)???E(?m?n)?n，
故?Cov(?,?)????n?mD(?)D(?)n。
8．若?与?都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。
证：【法一】设?a,b??c,d???p1,q?,??1?p2,q?。作两个随机2?
变量
即
P{??xi,??yj}?P{??xi}P{??yj}，故
????b:?*?a?b,?p1,0?*?,????dq1?。
?c?d,:??p2,0??q2?(??,独立。)
9．设随机变量?服从标准正态分布，求证?与?但是不独立。
证明：因为E(?)?E(?)?0，所以，Cov(?,?)?0，2不相关，
由?与?不相关即E???E?E?得
E???E(???b??d??bd)?(E?E??bE??dE??bd)**32
?(E??b)(E??d)?E?*E?*，
而E?*?*?(a?b)(c?d)P{?*?a?b,?*?c?d}，
E?*E?*?(a?b)P{?*?a??}b(c?d)?{P*??c}d，
由上两式值相等，再由(a?b)(c?d)?0得
P{?*?a?b,?*?c?d}?P{?*?a?b}P{?*?c?d}
此即P{??a,??c}?P{??a}?P{??c}。同理可证
P{??a,??d}?P{??a}?P{??d}，
P{??b,??c}?P{??b}?P{??c}
P{??b,??d}?P{??b}?P{??d}，
从而?与?独立。
【
法
二
】
设
(?,?)的分布列:P{??xi,??yj}?pij,i,j?1,2
?E??x1(p11?p12)?x2(p21?p22)
E??y1(p11?p2)1?y(2p1?2p )2 由于?,?不相关 ?Cov(?,?)?0，即得
pij?(pi1?pi2)(pj1?pj2),i,j?1,2
30
这表明?与?2不相关。
为证明?与?2不独立，特给定a?0，使得P{??a}?1。
现考察如下特定事件的概率：
P{??a,?2?a2}?P{?a???a}
?P{??a}P{?a???a}?P{??a}P{?2?a2}
所以，?与?2不独立。
10．若?的密度函数是偶函数，且E?2??，
试证?与?不相关，但它们不相互独立。
证：设f(x)是?的密度函数，则f(?x)?f(x)。由xf(x)是奇函数可得E??0，
从而E?E|?|?0。又由于x|x|f(x)是奇函数，得
E?|?|?????x|x|f(x)dx?0?E?E|?|
故|?|与?不相关。
由于?的密度函数是偶函数，故可选c?0使
0?P{|?|?c}?1，亦有P{??c}?1，
?P{??c}P{|?|?c}?P{|?|?c}?P{??c,|?|?c}
其中等式成立是由于{|?|?c}?{??c}。由此得|?|与
?不独立。