例析融入几何图形中的二次根式
在近几年的各类考试中，融入几何图形中的二次根式问题倍受命题者的青睐与关注，这类题往往背景鲜活，构思新颖，形式多变，给人耳目一新的感觉，它从注重考察同学们对二次根式的性质及计算发展到注重二次根式的蕴酿、构建、空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用二次根式的说理计算题，发展到基于二次根式应用进行探究的综合题，考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显. 这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.现结合几例二次根式的构建与应用进行剖析与说明，希望能给大家带来一定的启示与帮助.
一、融入网格中的二次根式
例1：如图1，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，小明在观察探究时发现： ①△ABC的形状是等腰三角形； ②△ABC的周长是210?2； ③△ABC的面积是5； ④点C到AB边的距离是
410； 5图1
⑤直线EF是线段BC的垂直平分线；
你认为小明观察的结论正确的序号有 .
思路点拨与解析：结合图形，借助勾股定理可计算出△ABC的三边长分别为 10，10，11故①正确，②错误，△ABC的面积由间接计算得到; 3?3??3?1?2??2?2=4，22，2241110,故④正确，0h?4，故③错误，利用三角形的等积法：ABh?4，即?1解得h=522根据垂直平分线的定义并结合图象可知EF是线段BC的垂直平分线；故选①④⑤.
点评：在近几年的各类考试中，选择填空题和网格背景题深受命题者的关注与青睐.当网格作为背景时，相关格点之间便容易形成特殊的图形如正方形，直角三角形，勾股定理等知识，具有较强的直观性、操作性，较好地实现了数学基本知识、空间观念与多种数学思维能力的综合与运用，尤其是勾股定理、数形结合等思想方法的运用达到了极点,具有极大的学习创造性和挑战性.
二、融入立体图形中的二次根式
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图2
例2：如图2，已知正方体纸盒的表面积为12cm， （1） 求正方体的棱长；
（2） 剪去盖子后，插入一根长为5cm的细木棒，则细木棒露在外面的最短长度是多
少？
（3） 一只蚂蚁在纸盒的表面由A爬到B，求蚂蚁行走的最短路线.
思路点拨与解析：(1)正方体有六个表面，每个面的面积为2 cm，则棱长为2cm；
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（2）如图3，插入细木棒后，看不见的部分恰好是正方体的对角线CE，
CD?(2)2?(2)2?2cm，CE?22?(2)2?6cm，则露出外面部分为
（5?6）cm; （3）如图3，要计算立体图形上两点之间距离最短问题，需要转化为平面图形解决，将EB所在面绕DE顺时针旋转90，使EB?所在平面与与AD所在平面恰好为同一平面，即计算AB?之间的距离：
AB??(22)2?(2)2?10；
点评：有关正方体类的试题在近几年频繁登场亮相，不断受到命题者的青睐与关注，而同学们时常对此束手无策，无能为力，其实，只要我们把握正方体的本质特征及转化思想，建立一定的空间观念并适当动手操作，将其侧面展开，准确把握立体图形与平面图形之间的内在关系，熟练地将实际问题转化为数学问题，便能做到胸有成竹，心中有法.
图3
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