23－26
P(ξ=k)=C3k()k()3k (k=0,1,2,3) , Eξ=np = 33 = .
5555解法二: ξ的概率分布为:
ξ 0 P 1 2 3 2754368 12512512512527543686
Eξ=03 +13 +23 +33 = .
1251251251255
y A F A1 l β
B
第19题解法一图
E B1
α
A1 l β x A F α E B1 y B 第19题解法二图
19.解法一: (Ⅰ)如图, 连接A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l,
∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角. Rt△BB1A中, BB1=2 , AB=2, ∴sin∠BAB1 = BAB1=45°.
AA11
Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°.
AB2故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
(Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角. 在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=中,A1B=A1F=
AB2－AA12 =
4－1 =
AA12A1B1333
= = , AB22
A1E6
= , ∴二面角A1－AB－B1的大A1F3
- 6 -
BB12
= . ∴∠AB2
2. ∴Rt△AA1B
3. 由AA12A1B=A1F2AB得
∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE =
小为arcsin6 . 3
解法二: (Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(2,1,0).在AB上→→
取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得AF=tAB , 即(x,y,z－1)=t(2,1,－1), ∴点F→→→→
的坐标为(2t, t,1－t).要使A1F⊥AB,须A1F2AB=0, 即(2t, t,1－t) 2(2,1,1213→
－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t= , ∴点F的坐标为(,－, ), ∴A1F
4444=(21311211→
,, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,, ). ∴EF=(,－,). 44422444211111→→→→
又EF2AB=(,－,)2(2,1,－1)= － － =0, ∴EF⊥AB, ∴∠
444244A1FE为所求二面角的平面角.
213211113
→→(，，)2(，－，)－+44444481616A1F2EF
又cos∠A1FE= = = →→21921131|A1F|2|EF|++ 2++ 2
16161616161642=
13 = ,
33
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos
3
. 3
20.解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3.
→→→→
21.解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由AD=tAB, BE = t BC, 知
?xD=－2t+2?xE=－2t
(xD－2,yD－1)=t(－2,－2). ∴? 同理 ? . ∴kDE =
?yD=－2t+1?yE=2t－1
yE－yD2t－1－(－2t+1)
= = 1－2t. xE－xD－2t－(－2t+2)∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1].
→→
(Ⅱ) ∵DM=t DE ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t
- 7 -
?x=2(1－2t)x22
－2)=(－2t,4t－2t). ∴?2 , ∴y= , 即x=4y. ∵t∈[0,1], 4?y=(1－2t)
2
x=2(1－2t)∈[－2,2].
即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2] 解法二: (Ⅰ)同上.
→→→→→→→→
(Ⅱ) 如图, OD=OA+AD = OA+ tAB = OA+ t(OB－OA)
y →→
= (1－t) OA+tOB,
→→→→→→→→→OE = OB+BE = OB+tBC = OB+t(OC－OB) =(1－t) OB→+tOC,
→→→→→→→→→OM = OD+DM= OD+ tDE= OD+t(OE－OD)=(1－t) OD+ →tOE
→→→
= (1－t2) OA + 2(1－t)tOB+t2OC .
C M －2 －1 O E －1 B 1 D A 2 x 第21题解法图 →→→
设M点的坐标为(x,y),由OA=(2,1), OB=(0,－1), OC=(－2,1)得
?x=(1－t2)22+2(1－t)t20+t22(－2)=2(1－2t)2?222 消去t得x=4y, ∵t∈[0,1], x?y=(1－t)21+2(1－t)t2(－1)+t21=(1－2t)
∈[－2,2].
故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
111
22.解: （I）∵f '(x)=3x2－2x+ = 3(x－)2+ >0 , ∴f(x)是R上的单调增函
236数.
1
（II）∵0 21131 又x2=f(x1)=f(0)=>0 =x1, y2=f(y1)=f()=<=y1,综上, x1 4282用数学归纳法证明如下: (1)当n=1时,上面已证明成立. (2)假设当n=k(k≥1)时有xk 当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(xk) 由(1)(2)知对一切n=1,2,…,都有xn - 8 - （III） yn+1－xn+1f(yn)－f(xn)1 = = yn2+xnyn+xn2－(yn+xn)+ ≤(yn+xn)2－ 2yn－xnyn－xn 1 (yn+xn)+ 2 11111 =[(yn+xn)－]2+ . 由(Ⅱ)知 0 24222yn+1－xn+1yn－xn < (12)2+114 = 2 - 9 -