上海市普陀区2013届高三一模数学试题(理)
参考答案
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.[1,3] 2.? 3.{?1,0} 4.arctan（n?N*） 7.
353422 5.39 6.an?3n?21210 8.180 9.?1 10.3 11. 12.1
13.1:1 14.[,2)
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. B 16. B 17. D 18. C 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.【解】（1）d?6cm，R?3cm，V球?43?R?343??27?36?cm3????2分
2 h?2，V圆柱??R?h???9?2?18?cm3????2分
V?V球?V圆柱?36??18??54??169.6cm3????2分
2（2）S球表?4?R?4???9?36?cm????2分
22 S圆柱侧?2?Rh?2???3?2?12?cm????2分
1个“浮球”的表面积S1?36??12?104?48104?m2
48 2500个“浮球”的表面积的和S2500?2500?104??12?m2
所用胶的质量为100?12??1200?（克）????2分
3 答：这种浮球的体积约为169.6cm；供需胶1200?克.
20.【解】
（1）由题意可知，动点A的轨迹为抛物线，其焦点为F(2,0)，准线为x??2
设方程为y2?2px，其中
p2?2，即p?4??2分
所以动点A的轨迹方程为y2?8x??2分
（2）过A作AB?l，垂足为B,根据抛物线定义，可得|AB|?|AF|??2分
y 由于AK?A B 2AF，所以?AFK是等腰直角三角形
???2分
其中|KF|?4????2分
K F x ?2 O 12 所以S?AFK??4?4?8????2分
2
21.【解】（1）在△ABC中，由余弦定理得，a2?b2?c2?2bccosA…………2分 48?36?c?2?c?6?(?)…………2分
32x??2 1即c?4c?12?0，(c?6)(c?2)?0，解得c?2…………2分
（2）由cosA??13?0得A为钝角，所以sinA?asinA?bsinB2223…………2分
在△ABC中， 由正弦定理，得
6??2233323
则sinB?b?sinAa43?63…………2分
由于B为锐角，则cosB?cos2B?1?2sin2……2分
??13B?1?2?
?223sin2B?2sinB?cosB?2?63?33
22(?13?223)?4?62所以cos(2B?分
?4)?22(cos2B?sin2B)?………2
?????22.【解】（1）由已知条件得，A1A2?(1,1),A1A2?OA2?OA1,所以OA2?(1,2)……2
分
AnAn?1?(1,1)，则OAn?1?OAn?(1,1)
设OAn?(xn,yn)，则xn?1?xn?1，yn?1?yn?1
所以xn?0?(n?1)?1?n?1；yn?1?(n?1)?1?n………2分
即An?(n?1,n)满足方程y?x?1，所以点An在直线y?x?1上. ………1
分
（证明An在直线y?x?1上也可以用数学归纳法证明.） （2）由（1）得An(n?1,n)
BnBn?1?OBn?12n?OBn?(3?(),0) ………1分
3 设Bn(un,vn)，则u1?3，v1?0
vn?1?vn?0，所以vn?0
2n2nun?1?un?3?()， 逐差累和得，un?9(1?())，
33所以Bn(9(1?()),0)???2分
32n设直线y?x?1与x轴的交点P??1,0?，则
n?1n1?1??2???2????10?9????n?1???10?9???n 2?2??3???3??????an?S?PAn?1Bn?1?S?PAnBn2n?1*an?5?(n?2)()，n?N……2分
3（3）由（2）an?5?(n?2)()32n?1，n?N
* an?1nn?1n?1??2????2??4?n?2??an??5??n?1??????5??n?2??????? …2分
333???????3???????于是，a1?a2?a3?a4?a5，a5?a6?a7?? ………2分 数列?an?中项的最大值为a4?a5?5?1627，则P?51627,即最小的正整数p的
*值为6，所以，存在最小的自然数p?6，对一切n?N都有an?p成立.??2
分
23.【解】（1）由f(g(x)?g(f(x))得2sinx?sin2x
化简得，2sinx(1?cosx)?0，sinx?0或cosx?1………2分
解得x?k?或x?2k?，k?Z，即集合M?{x|x?k?}k?Z………2
分
(若学生写出的答案是集合M?{x|x?k?,k?Z}的非空子集，扣1分，以
示区别。)
（2）证明：由题意得，ax?1?ax?1（a?0且a?1）………2分 变形得，ax(a?1)?1，由于a?0且a?1 a?x1a?1………2分
1a?1?0，即a?1………2分
因为ax?0，所以
（3）当?1?x?0，则0??x?1，由于函数g(x)在(?1,1)上是偶函数
则g(x)?g(?x)?log2(1?x)
所以当?1?x?1时，g(x)?log2(1?|x|) ?????2分 由于f(x)?x?2与函数g(x)在集合M上“ 互为H函数” 所以当x?M，f(g(x)?g(f(x))恒成立,
g(x)?2?g(x?2)对于任意的x?(2n?1,2n?1)(n?N)恒成立,
即g(x?2)?g(x)?2?????2分 所以g[x?2(n?1)?2]?g[x?2(n?1)]?2, 即g(x?2n)?g[x?2(n?1)]?2 所以g(x?2n)?g(x)?2n,
当x?(2n?1,2n?1)（n?N）时,x?2n?(?1,1) g(x?2n)?log2(1?|x?2n|)?????2分
所以当x?M时，
g(x)?g[(x?2n)?2n]?g(x?2n)?2n?log2(1?|x?2n|)?2n???2分