因此，要证ex?e2lnx?0恒成立，只要证明ex?ex在?0,???上恒成立即可， ex?x?1?ex设g?x?? ?x?0?，则g??x??， 2xx当x??0,1?时，g??x??0，g?x?单调递减， 当x??1,???时，g??x??0，g?x?单调递增．
所以，当x?1时，g?x?min?g?1??e，即ex?ex在?0,???上恒成立．
因此，有ex?ex?e2lnx，又因为两个等号不能同时成立，所以有ex?e2lnx?0恒成立． 证法二：记函数??x??ex?2ex111?lnx?2?lnx，则???x??2?ex??ex?2?，
exxe可知???x?在?0,???上单调递增，又由???1??0，???2??0知，???x?在?0,???上有唯一实根x0， 且1?x0?2，则???x0??ex0?2?11?0，即ex0?2?（*）， x0x0当x??0,x0?时，???x??0，??x?单调递减；当x??x0,???时，???x??0，??x?单调递增， 所以??x????x0??ex0?2?lnx0，结合（*）式ex0?2?1，知x0?2??lnx0， x02x02?2x0?1?x0?1?1所以??x????x0???x0?2???0，
x0x0x0则??x??ex?2?lnx?0，即ex?2?lnx，所以有ex?e2lnx?0恒成立． 18．已知函数f?x??aex?x2?bx?a,b?R?，其导函数为y?f'?x?．
（1）当b?2时，若函数y?f'?x?在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）设a?0，点P?m,n??m,n?R?是曲线y?f?x?上的一个定点，是否存在实数x0?x0?m?使得?x?m?f?x0??n?f'?0??x0?m?成立？并证明你的结论． 2??【答案】（1）a??
2或a??0,???；（2）不存在，见解析． e2【解析】（1）当b?2时，f?x??aex?x2?2x，?a?R?，f'?x??aex?2x?2，?a?R?，
由题意得aex?2x?2?0，即a?令h?x??2?2x， xe2?2x2x?4?，则hx??0，解得x?2， ??exex当x?2时，h'?x??0，h?x?单调递减；当x?2时，h'?x??0，h?x?单调递增， ?h(x)min?h?2???2， e22?2x?0， ex当x??1时，h??1??4e?0，当x?2时，h?x??则a??2或a??0,???时，f'?x?在R上有且只有一个零点． e2（2）由f?x??aex?x2?bx，得f'?x??aex?2x?b，
?x?m??x0?m??x?m?n?f假设存在x0，则有f?x0??f??0???0?2??x0?m??f?m?， 2????即
f?x0??f?m?x0?m?x?m??f??0?x0?m?， ?，?2?x0?mx0?m?x0?m?2f'??ae?2??b， ?22??f?x0??f?m?x0?m?aex0?m2?2aex0?em??x0?m2??b?x0?m???x0?m?aex0?emx0?m????x0?m??b，
aex0?emx0?m?2??b???x0?m??b，
2x0?m?aex0?emx0?m??即aex0?m2??，
t?m2a?0，?ex0?m2ex0?em?， x0?m令t?x0?m?0，则emet?m?em?，
ttet?12两边同时除以e，得e?，即te?et?1，
tt2tttt?2?2?2?t2t令g?t??e?te?1，?g??t??e??e?e??e?e??1?，
2?2???tt2t令h?t??e?
t2t?1在?0,???上单调递增，且h?0??0， 2?h?t??0对于t??0,???恒成立，即g'?t??0对于t??0,???恒成立，