7-6-1.计数之归纳法
教学目标
前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．
例题精讲
从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．
【例 1】 如图所示，在2×2方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在3×3方格中，画一条直线最多穿过5
个方可知；那么在5×5方格中，画一条直线，最多穿过 个方格。
【考点】计数之归纳法 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第14题，6分 【解析】 边长每多1，穿过的方格多2，那么5×5的最多穿过3+2+2+2=9个方格 【答案】9
【例 2】 一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面
为多少部分?
【考点】计数之归纳法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：
由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n条直线时，最多可将
n?n?1?平面分成2+2+3+4+…+n=+1个部分．
2方法二：如果已有k条直线，再增加一条直线，这条直线与前k条直线的交点至多k个，因而至多被分成k+1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k+1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分为11+5=16个部分．
k?k?1?一般的有k条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k=+1个部分，所以五条直线可以分平面为
216个部分．
【答案】16
【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k＝0，1，2，……
a0＝1
a1=a0+1＝2 a2=a1＋2=4 a3=a2＋3=7 a4=a3+4＝11 ……
故5条直线可以把圆分成16部分，100条直线可以把圆分成5051部分
【答案】5051部分
【例 3】 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上k个圆最多能将平面分割成ak个部分．
12124361234785
从图中可以看出，a1?2，a2?4?2?2?1，a3?8?4?2?2，a4?14?8?2?3，…… 可以发现ak满足下列关系式：ak?ak?1?2?k?1?．
实际上，当平面上的(k?1)个圆把平面分成ak?1个区域时，如果再在平面上出现第k个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第k个圆不能通过平面上前?k?1?个圆之间的交点．这样，第k个圆与前面?k?1?个圆共产生2?(k?1)个交点，如下图：
6879451231112131410
这2?(k?1)个交点把第k个圆分成了2?(k?1)段圆弧，而这2?(k?1)段圆弧中的每一段都将所在的区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了2?(k?1)个部分．所以，ak?ak?1?2?k?1?． 那么，a10?a9?2?9?a8?2?8?2?9?a7?2?7?2?8?2?9
?
?a1?2?1?2?2?...?2?7?2?8?2?9
?2?2??1?2?...?7?8?9??92．
故10个圆最多能将平面分成92部分．
【答案】92
【例 4】 10个三角形最多将平面分成几个部分？