等差数列（2）
一、创设情景，揭示课题
1．复习等差数列的定义、通项公式 （1）等差数列定义
（2）等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d (an?am?(n?m)d或an?dn?p(p是常数))
（3）公差d的求法：① d?an-an?1 ②d?2．等差数列的性质：
（1）在等差数列?an?中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列?an?中，相隔等距离的项组成的数列是AP 如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……；
an?a1a?am ③d?n n?1n?man?am (m?n)；
n?m（4）在等差数列?an?中，若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，则am?an?ap?aq
（3）在等差数列?an?中，对任意m，n?N?，an?am?(n?m)d，d?3．问题：（1）已知a1,a2,a3?,an,an?1,?,a2n是公差为d的等差数列。 ①an,an?1,?,a2,a1也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②a2,a4,a6?,a2n也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ （2）已知等差数列?an?的首项为a1，公差为d。
①将数列?an?中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？
②由数列?an?中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列?cn?是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（3）已知数列?an?是等差数列，当m?n?p?q时，是否一定有am?an?ap?aq？ （4）如果在a与b中间插入一个数A，使得a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ 二、研探新知
1.等差中项的概念：
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A? a，A，b成等差数列?A?2.一个有用的公式：
（1）已知数列{an}是等差数列
①2a5?a3?a7是否成立？2a5?a1?a9呢？为什么？ ②2an?an?1?an?1(n?1)是否成立？据此你能得到什么结论？ ③2an?an?k?an?k(n?k?0)是否成立？？你又能得到什么结论？ 求证：①am?an?ap?aq ②ap?aq?(p?q)d 证明：①设首项为a1，则
（2）在等差数列?an?中，d为公差，若m,n,p,q?N?且m?n?p?q
a?b 2a?b． 2am?an?a1?(m?1)d?a1?(n?1)d?2a1?(m?n?2)dap?aq?a1?(p?1)d?a1?(q?1)d?2a1?(p?q?2)d
∵ m?n?p?q ∴am?an?ap?aq
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② ∵ap?a1?(p?1)d aq?(p?q)d?a1?(q?1)d?(p?q)d?a1?(p?1)d ∴ ap?aq?(p?q)d
探究：等差数列与一次函数的关系 注意：（1）由此可以证明一个结论：设{an}成AP，则与首末两项距离相等的两项和相等，即：
a1?an?a2?an?1?a3?an?2???，
同样：若m?n?2p 则 am?an?2ap
（2）表示等差数列的各个点在一条直线上，这条直线的斜率是公差d 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材P37例3）已知等差数列?an?的通项公式是an?2n?1，求首项
a1和公差d。
解
a1?2?1?1?1,a2?2?2?1?3d?an?1?an?2(n?1)?1?(2n
：
，∴
d?a2?a1?2或
?1)?2，等差数列?an?的通项公式是an?2n?1，是关于n的一次式，从图象上看，表示
这个数列的各点(n,an)均在直线y?2x?1上（如图）
例2 ①在等差数列?an?中，a2?a7?a8?a13?6，求a6?a9． ②在等差数列?an?中，a1?a4?a8?a12?a15?2，求a3?a13的值。 解：①由条件：a6?a9?a7?a8?a2?a13?3；
②由条件：∵2a8?a1?a15?a4?a12 ∴a8??2 ∴a3?a13?2a8??4． 例3若 a1?a2???a5?30 a6?a7???a10?80 求a11?a12???a15 解：∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2…… ∴ 2a6?a1?a11,2a7?a2?a12 ……从而
(a11?a12???a15)+(a1?a2???a5)?2(a6?a7???a10)
∴a11?a12???a15=2(a6?a7???a10)?(a1?a2???a5)=2×80?30=130 一般的：若{an}成等差数列那么Sn、S2n?Sn、S3n?S2n、…也成等差数列
例4如图，三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等差数列，且AD?21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2。（1）求AB,BC,CD的长；（2）以AB,BC,CD的长为等差
数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
解：（1）设公差为d(d?0)，BC?x则AB?x?d,CD?x?d
?(x?d)?x?(x?d)?21?x?7?x?7由题意得：? 解得： 或（舍去） ??222d?4d??4???(x?d)?x?(x?d)?179BA∴AB?3(cm),BC?7(cm),CD?11(cm)
（2）正方形的边长组成已3为首项，公差为4的等差数列?an?，
222CD2∴a10?3?(10?1)?4?39，∴a10?39?1521(cm) 所求正方形的面积是1521(cm)。
四、巩固深化，反馈矫正 1.教材P37练习 解
：
2.在等差数列?an?中, 若 a5?6 a8?15 求a14
a8?a5?(8?5)d 即 15?6?3d ∴ d?3从而
a14?a5?(14?5)d?6?9?3?33
变题：在等差数列?an?中，（1）若a5?a，a10?b 求a15；（2）若a3?a8?m 求 a5?a6 解：（1）2a10?a5?a15 即2b?a?a15 ∴ a15?2b?a；（2）a5?a6=a3?a8?m
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五、归纳整理，整体认识 本节课学习了以下内容：
a?b?a,A,b,成等差数列，等差中项的有关性质意义 22．在等差数列中， m?n?p?q?am?an?ap?aq（m，n，p，q?N?）
1．A?3．等差数列性质的应用；掌握证明等差数列的方法。 六、承上启下，留下悬念
1.在等差数列{an}中, 已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 求a2＋a8及前9项和S9. 解：由等差中项公式：a3＋a7＝2a5， a4＋a6＝2a5由条件a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 得5a5＝450, a5＝90, ∴a2＋a8＝2a5＝180. S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9
＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝810.
七、板书设计（略） 八、课后记：
判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1．定义法：即证明 an?an?1?d(常数)
例：已知数列?an?的前n项和Sn?3n2?2n，求证数列?an?成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。 解：
n?2a1?S1?3?2?1 当时
an?Sn?Sn?1?3n2?2n?[3(n?1)2?2(n?1)]?6n?5
n?1时 亦满足 ∴ an?6n?5 首项a1?1
an?an?1?6n?5?[6(n?1)?5]?6(常数) ∴?an?成AP且公差为6
2．中项法： 即利用中项公式，若2b?a?c 则a,b,c成AP。
111b?cc?aa?b 例：已知，，成AP，求证 ，，也成AP。
abcabc111211 证明： ∵，，成AP ∴?? 化简得：2ac?b(a?c)
abcbacb?ca?bbc?c2?a2?abb(a?c)?a2?c22ac?a2?c2 ????acacacac(a?c)2(a?c)2a?cb?cc?aa?b= ∴，，也成AP ??2?b(a?c)acbabc2 3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。 例：设数列?an?其前n项和Sn?n2?2n?3，问这个数列成AP吗？
解：n?1时 a1?S1?2 n?2时 an?Sn?Sn?1?2n?3,?a1不满足an?2n?3
n?1?2 ∴ an?? ∴ 数列?an?不成AP 但从第2项起成AP。
n?2?2n?3 - 3 -