考研数学资料
第一节 不定积分的概念与性质
1、 虽然很多人都把高等数学这门课程称为微积分，这主要是为了体现了积分定积分的重要性，积
分定积分确实非常重要；然而，在考研中，纯粹考你的技术性方面的操作不多，比如2013年基本上没有一道题跟积分定积分有关。这里我想说明的是，我不是说这部分不重要，这部分很重要，但是不要太过了，就像单词在英语考研中很重要，然而我去年就是把时间过分的用在了单词上。
2、 原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对
任一x?I都有F?(x)?f(x)。即连续函数一定有原函数。
3、 不定积分：在区间I上，函数f(x)的 带有任意常数项的原函数 称为f(x)在区间I上的不定
积分，记作
?f(x)dx。如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)?C就是f(x)的?f(x)dx?F(x)?C。
不定积分，即
4、 要知道为什么以下几个等式成立：①F?(x)dx?F(x)?C，②dF(x)?F(x)?C，
③
??df(x)dx?f(x)，④d?f(x)dx?f(x)dx，⑤[?f(x)dx]??f(x) ?dx5、 P186基本积分表第14、15省去，第9、10、11看懂就行了，其余的要熟记。 6、 本节例题你都看懂就行了，注意例2 7、 习题4—1 第1、2题。
第二节 换元积分法
1、 第一类换元法说的是，在我们能够求出
分
?f(x)dx?F(x)?C的情况下，面对较难的不定积
?f[?(x)]??(x)dx，我们可以把?(x)整体作为积分变量，即令?(x)?u，于是
?f[?(x)]??(x)dx形式。举一个简单的例子：对于
?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d(?(x))??f(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C。第一类换
元积分法关键是把给出的不定积分化为
?f(ax?b)dx，我们可以作如下变换：
?f(ax?b)dx?111?af(ax?b)dx?f(ax?b)(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b)注???aaa- 1 -
第四章 不定积分
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意这里的
1a?1f(ax?b)(ax?b)?dx已是?f[?(x)]??(x)dx形式，令ax?b?u，a?111f(ax?b)d(ax?b)??f(u)du?F(u)?C?F(ax?b)?C。在熟练地情况下，
aaa我们一般把第一类换元法简化成如下：
?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d(?(x))?F[?(x)]?C，即换元的时候在心目中进行就是
了，不必写出。
2、 常用换元法：常用换元法见《复习全书》P111——P112，这里列出了12点，非常全，我就
不一一列出了。
3、 第一类换元法的例题除了例7外，其余的全部都要至少看的懂。 4、 第二类换元积分法：第二类换元积分法和第一类的恰好相反，这里是在
?f[?(x)]??(x)dx?F(x)?C很好求出的情况下（这里是用直接的方法求该积分，不是把
它化为
，而?f(x)dx很难求出时，我们令?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d(?(x))）
x??(t)、t???1(x)做如下变换：?f(x)dx??f[?(t)]d?(t)??f[?(t)]??(t)dt，由已
知
?f[?(x)]??(x)dx?F(x)?C可得：
f(x)dx??f[?(t)]d?(t)??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?C?F[??1(x)]?C
?5、 注意，不管是第一类还是第二类换元积分法，我们最后的到的不定积分的变量都应是x，即
我们换元后，最后我们还要换回来，在第一类中，我们最终答案不能写成F(u)?C，而要写成F[?(x)]?C；在第二类中，我们不能写成F(t)?C，而要写成F[??1(x)]?C。这一点和后面的定积分不一样，定积分不用换回来，这在以后再讨论。
6、 第二类换元法后面的例题，P199—P204，例21—27都要掌握，包括P203页补充的积分表，
不需死记硬背，能够熟练推出就行了。 7、 习题4—2第1、2题
第三节 分部积分法
1、 分部积分法容易理解：udv?uv?vdu，书上给出的是uv?dx?uv?u?vdx，你认为哪
种好记你就用哪种。值得注意的是，这里的u、v是关于x的函数。 2、 后面的十个例题你都得掌握，习题4—3都得会做。
第四章 不定积分
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第四节 有理函数的积分
1、
Mx?N222dxb?4ac?0ax?bx?c?0ax?bx?c不能分（其中，即没有实根，?ax2?bx?c解成两个因式相乘）的求法 ，下面以一个具体例子给出：
2x?32x?342x?32x?13t?1dx?dx?dx，令、，则?tx??x2?x?1?123?2x?13(23(x?)?)2?12432x?342x?3dx??x2?x?13?2x?12dx()?13?43t?23t?1233t?2t431d()?dt?2dt?dt2222????3t?123t?1t?13t?1 1434322dt?1?arctant?C?ln(t?1)?arctant?C??2t?133432x?1arctan?C33???ln(x2?x?1)?2、 本节从P212第7行开始看，一直到P214就行了，数三考的很简单，不会给出最高次幂很
大的有理函数。结合习题4—4的题，不懂得看参考答案嘛。
第五节 积分表的使用（略去）
第四章 不定积分 - 3 -