40Magnitude (dB)200-20-40-6000.10.20.30.40.50.60.70.8Normalized Frequency (?? rad/sample)0.91100Phase (degrees)80604020000.10.20.30.40.50.60.70.8Normalized Frequency (?? rad/sample)0.91
图1 习题20系统的幅频和相频特性曲线图 (2) 因为给出的差分方程为：y(n)?x(n?2)??[x(n?1)?y(n?1)]
Y(z)z?2?az?1?故R(z)?，将R(z)代入H1(z)， X(z)1?az?1 H2(z)?H1(z)z?1?z?2?az?11?az?1z?2?az?11??11?z?21?az??
z?2?az?11?1.85az?1?0.85z?21?0.851?az?1H2(z)的两个零点为z1.2??1，因此，为了使系统因果稳定，两个极点必位于单位圆内。
系统的频率响应为
H2(e)?H2(z)z?ej?因此，当??0,?时，
j?1?e?j2?? 1?1.85ae?j??0.85e?j2?H2(ej?)?0
所以，变换后的数字网络是带通滤波器。
［21］需设计一个数字巴特沃斯高通滤波器，给定指标为
(1)衰减?s?30dB，当f?3kHz (2)波纹?p?3dB，当f?5kHz (3)抽样频率fc?20kHz
试用双线性变换法进行设计，最后写出H(z)的表达式，并画出系统的幅度响应特性。
解：（1）将数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的性能指标。由于采用双线性变换法，则频率要进行预畸变。
2??5?103fs2??3?103?p?2???0.5? ，?s?2???0.3?
fc20?103fc20?103
114
fp预畸变后的高通滤波器的通带频率和阻带频率分别为：
?p?ctan?p2 ， ?s?ctan?s2
(2) 利用频率变换关系，可求出归一化原型低通滤波器的通带频率和阻带频率分别为
?p?1，?s??p?sctan?ctan?p?s22?1.9627
通带处最小衰减为3dB，阻带处最大衰减为30dB。
(3)利用巴特沃斯滤波器设计方法，设计原型归一化低通滤波器HLP(s)。 求得巴特沃斯低通滤波器的阶次N，即：
lg[(100.3?1)/(103?1)]N??5.1248
2lg(1/1.9627)因此，取N?6，截止频率(在3dB处)?c??p?1。归一化原型低通的滤波器的系统函数HLP(s)
HLP(s)?1 65432s?3.864s?7.464s?9.1416s?7.464s?3.864s?1求得实际高通滤波器的系统函数
HHP(s)?HLP(s)s??pHHP(s)?HLP(s)s??p
ss(4) 利用?p?ctan?p2，求得数字滤波器的系统函数H(z)为
H(z)?HHP(s)s?c1?z?11?z?10.0394?0.2365z?1?0.5913z?2?0.7884z?3?0.5913z?4?0.2365z?5?0.0394z?6?1?0.3723z?1?0.8294z?2?0.1793z?3?0.1277z?4?0.0122z?5?0.002z?6系统的频率响应特性如图2所示。
0Magnitude (dB)
-100-200-300-40000.10.20.30.40.50.60.70.8Normalized Frequency (?? rad/sample)0.91200Phase (degrees)0-200-40000.10.20.30.40.50.60.70.8Normalized Frequency (?? rad/sample)0.91 图2 习题21系统频率响应图
115