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数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)2?na1?n(n?1)2d
2、等比数列求和公式：Sn?na1?na1?anq??a1(1?q)??1?q1?q?23n(q?1)(q?1)
例1、已知log3x??1log23，求x?x?x?????x????的前n项和.
解：由log3x??1log23?log3x??log32?x?12
23n 由等比数列求和公式得 Sn?x?x?x?????x （利用常用公式）
1x(1?x)1?xn ＝
＝2(1?1?1212n)＝1－
12n
练习：求?12解：?12 ??222?2?3?4?5?6?...?99?1002222222222222的和。
?2?3?4?5?6???99?100
2?12???42?32???62?52?????1002?99?
??2?1??2?1???4?3??4?3???6?5??6?5????100?99??100?99? ?3?7?11??＋199
由等差数列的求和公式 得
S50＝50?3＋199?2＝5050
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
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{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
23n?1例2 求和：Sn?1?3x?5x?7x?????(2n?1)x………………………①
解：由题可知，{(2n?1)x的通项之积
设xSnn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn?1}
?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn………………………. ②
（设制错位）
234n?1n?(2n?1)x ①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x?2x?2x?????2x（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?n?1n1?xn?11?x?(1?x)?(2n?1)x
n ∴ Sn?(2n?1)x?(2n?1)x(1?x)2
练习：求数列
22,422,623,???,2n2n,???前n项的和.
12n解：由题可知，{
设Sn?12Sn?2n2n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
??}的通项之积
22222??422623??????????2n2n…………………………………①
………………………………
②
4236242n2n?1（设制错位）
①
－
②
得
(1?12)Sn?22?222?223?224?????22n?2n2n?1
（错位相减）
?2? ∴ Sn?4?三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).
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122n?1?2n2n?1
n?2n?1
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例3求sin1?sin2?22?sin2??23?????sin2?288?sin?289的值
2?解：设S?sin1?sin将①式右边反序得 S?sin22?sin?23?????sin?88??sin289…………. ①
?89??sin288??????sin3?sin2?sin12?2?2?…………..②
（反序）
又因为 sinx?cos(90?x),sin ①
+
?2x?cos2x?1
②得
（反序相加）
2S?(sin21?cos?21)?(sin?22??cos22)?????(sin?289??cos289)＝89
?∴ S＝44.5 四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例4、求和:??x???1??21???x?2??y??y3n??n1?????x?n??y???1?y1y2???x?0,x?1,y?1? ??1?? n?y?解:原式=?x?x2?x???x????????????=
x1?x1?x?n??1?1?1?n?y?y1?1y
=
x?xn?11?x?yyn?1?ynn?1
1a1a2练习：求数列的前n项和：1?1,解：设Sn?(1?1)?(1a?4,1a2?7,???,1an?1?3n?2，… 1?3n?2)
?4)?(?7)?????(an?1将其每一项拆开再重新组合得
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Sn?(1?1a?1a2?????1an?1)?(1?4?7?????3n?2)
（分组）
当
a
＝
1
时
，
Sn?n?(3n?1)n2＝
(3n?1)n2
（分组求和）
1?1na?a(3n?1)na＝?1a?121?n当a?1时，Sn?1??(3n?1)n2
a),???练习：求数列12,24,38,???,(n?解：
11112n的前n项和。
1111Sn?1?2?3?????(n?n)24821111?(1?2?3?????n)?(?2?3?????n)2222?12n(n?1)?1?12n
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： 例5 求数列
1?121n?11?2n?112?31)?(3?,12?3,???,n?1n?1,???的前n项和.
解：设an??n?1?n （裂项）
则 Sn???????n?1n?1 （裂项求和）
＝(2?2)?????(n?1?n)
＝n?1?1
练习：求 3，1 5，3 5，63之和。
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1 1 1 1
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解：
13??12115?13513)??163?11?3?13?5?15?7?17?9(1?111111111(?)?(?)?(?)235257279
?1?1111111?(1?)?(?)?(?)?(?)?2?3355779??12(1?19)?49?六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
例6、 数列{an}：a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an，求S2002.
解：设S2002＝a1?a2?a3?????a2002
由a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an可得
a4??1,a7?1,a5??3,a6??2,
a11??3,a12??2,a8?3,a9?2,a10??1,
……
a6k?1?1,a6k?2?3,a6k?3?2,a6k?4??1,a6k?5??3,a6k?6??2
∵ a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4?a6k?5?a6k?6?0 （找特殊性质项）
∴
S2002
＝
a1?a2?a3?????a2002
（合并求和）
＝
(a1?a2?a3????a6)?(a7?a8????a12)?????(a6k?1?a6k?2?????a6k?6)
?????(a1993?a1994?????a1998)?a1999?a2000?a2001?a2002
＝a1999?a2000?a2001?a2002 ＝a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4
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