高等数学A 自测自检题解答提示 第10章
第10章 重积分
第一部分：必做题
一、填空、选择题
1．设I???Df(x,y)dxdy,D?{(x,y)|a2?x2?y2?b2,0?a?b}，将其化为极坐标系下的累次积分为
b?
2?0d??f(?cos?,?sin?)?d?．
a2．若积分区域D:x2?y2?1, 则
??(x?siny?3)d?＝ 3π ．
D 提示：由于积分区域D关于x轴和y轴对称，因此
??xd??0，??sinyd??0，所以
DD??(x?siny?3)d?＝??3d??3??d??3?．
DDD
3．若积分区域D:x2?y2?1,y?0， 则
xxye??D2?y2d?＝ 0 ．
xxye??D2 提示：积分区域D关于y轴对称，而被积函数关于变量x是奇函数，因此
?y2d??0．
4．旋转抛物面z?x2?y2被平面z?1所截部分曲面的面积等于
提示：所截部分曲面在xoy坐标平面上的投影区域为
?5?65?1 ．
?Dxy??(x,y)|x2?y2?1?＝?(?,?)|0???2?,0???1?，
因此所求的面积为
Dxy??1??2x???2y?dxdy??d??1?4?2?d?=00222?1?6?55?1．
?5. 设平面区域D由x?0,y?0,x?y?3133,x?y?1围成，记I1????x?y?dxdy，I2????ln(x?y)?dxdy， 4DDI3????sin(x?y)?dxdy，则I1,I2,I3的大小顺序为 B ．
DA． I1?I2?I 3 B． I2?I3?I1 C． I1?I3?I2 D． I3?I1?I2 提示：由于 6．设
1?x?y?1，因此ln(x?y)?0，而sin(x?y)?0，故I2?0,I1?0,I3?0，选B． 4???xyzdxdydz，其中?：0?x?2,1?y?2,0?z?1，则其积分值为 A
?2A． 1 B． 2 C． 提示：
11 D． 26????xyzdxdydz＝
2?20xdx?ydy?z2dz?1．
1021第 1 页 共 5 页
高等数学A 自测自检题解答提示 第10章
二、计算题
1．计算
D提示：积分区域D关于y轴对称，所以
??(2x?y)dxdy，D:由y?1,x?y?2?0与x?y?2?0所围区域． ??(2x?y)dxdy???2xdxdy???ydxdy?0???ydxdy????ydxdy???dy?DDDDD122?yy?2ydx???2． 32．求
??Dy?x2dxdy, D：x??1,x?1,y?1及x轴所围区域．
提示：积分区域D分为两个部分D=D1+D2，其中
??1?x?1??1?x?1D1:?2， D2:? 2?x?y?1?0?y?x因此
??Dy?x2dxdy＝???y?x2?dxdy????x2?y?dxdy＝…＝
D1D22． 113．计算
sinxd?，D：y?x，x?1及x轴所围区域． ??xD1xsinx1sinxx1sinx1sinxd??dxdy?dxdy?xdx?sinxdx?1?cos1． ????????000000xxxxD提示：这个积分只能化为先y后x的二次积分，即
如果将??Dsinxd?化为先x后y的二次积分，则无法积分． x
?x4．计算??eD2?y2d?，D：1?x2?y2?4,y?0．
提示：化为极坐标形式：
?????2? D:??1???2??eD?x2?y2d???d??e???d????e?1?e?2?．
22?2?1 5．计算
??Dy222，D：x?y?2x所围的区域． dxdy2x提示：化为极坐标形式：
????????D:?2 2??0???2cos??2cos?y222dxdy?d?tan??d?????． ?2????0?x2D第 2 页 共 5 页
高等数学A 自测自检题解答提示 第10章
1206．改变二次积分
?dy?1?yyf(x,y)dx的积分次序．
11???10?y?0?x?????x?1D:D:提示：积分区域为D:?，（作图），转换为，其中， D?D?D221?2?212????y?x?1?y?0?y?x?0?y?1?x因此
7．用极坐标求
?1120dy?1?yyf(x,y)dx＝?dx?f(x,y)dy??1dx?02120x11?x0f(x,y)dy．
?dx?0x0x2?y2dy．
???0?x?1?0???提示：积分区域为D:?，（作图），转换为极坐标形式D:?，因此 40?y?x???0???sec??8．求
10dx?x?0x?ydy＝?4dx?022sec?0?2d??16?22?ln?2?1．
?????Dx2?y2?yd?，D:x2?y2?4,?x?1??y2?1所围区域．
?提示：积分区域关于x轴对称，设D０表示D位于x轴上方的部分，则
???Dx2?y2?yd?＝??x2?y2d?＋??yd?＝2??x2?y2d? + 0＝2??x2?y2d?
D?DD0D0把D０表示为极坐标形式D０＝D1+D2，其中
?????0????????D1:? ， D2:?2 2???2cos????2?0???2因此
???Dx2?y2?yd?＝2??x2?y2d?＋2??x2?y2d?
D1D2??＝2
?20d???d?＋2??d???2d???? 3??2cos?0222?232． 9三、计算题（三重积分）
1. 求
???xydv，?:x?y?z?1及坐标平面所围区域.
???0?x?1(x,y)?D:?xy?提示：积分区域?表示为?:??0?y?1?x
?0?z?1?x?y?第 3 页 共 5 页
高等数学A 自测自检题解答提示 第10章
因此
??11?x1?x?y1?x?y1??xdxydydz???＝． ?xydxdydzxydv?0?0?0??????0??24??Dxy?2．求
22?,:x?y?1及z?0,z?1所围区域． zdv????提示：被积函数实际上是一个一元函数，考虑化为先（对xy的）二重积分后定积分．而?被平面z?z所截的
1?(x,y)?Dz1截面是圆盘Dz:x?y?1，因此?:?，所以???zdv＝?zdz??dxdy??．
02?0?z?1Dz?22 3．求
222?，:x?y?z?1,z?0. (x?2)dxdydz????提示：由于积分区域?关于yoz坐标平面对称，因此
???(x?2)dxdydz＝???xdxdydz＋???2dxdydz＝0????14432????1??． ＝＝2dxdydz2dxdydz??????233?? 4．求z?x2?y2和z?x2?y2所围立体体积．
提示：设所围成的立体为?，则可用柱坐标表示为
?0???2???:?0???1
??2?z???因此所围立体体积为
2?1???dv??d???d??2dz????00??6?．
第二部分：选做题
1. 化下列和的极限为二重积分: lim??n??i?1nn． 22n?in?j??j?1??n提示：把所给的极限式作恒等变形，得到
nnn11lim??lim?＝ ??2222n??n??i?1j?1?n?i??n?j?i?1j?1?i???j??n1?1?????????n???n???nn只要找到某个函数f(x,y)，使它在某个平面区域D上的二重积分恰好等于上述极限即可．为此考虑函
数f(x,y)?1，(x,y)?D??0,1???0,1?（注意对比这个函数式与上述极限式中的分式的
(1?x)(1?y2)关系）．这个f(x,y)在D上可积．因此
?f(???f(x,y)d??lim?D?0k?1mk,?k)??k
第 4 页 共 5 页
高等数学A 自测自检题解答提示 第10章
取直线网
x?2ij,y?,i,j?1,2,?,n?1 nn111?ij?,?作为??k,?k?，则??k???2，因此
nnn?nn?nnnn11?ij?1f?,??2?lim???． 22n??nnnn????i?1j?1?i??j?1?1????????n????n???（这时m?n）并且依次取小正方形的顶点??f(???f(x,y)d??lim?D?0k?1nnmk,?k)??k＝lim??n??i?1j?1所以lim
n1＝d?，D??0,1???0,1?． ??2??22n??(1?x)(1?y)n?in?j??i?1j?1??D2. 若平面z?a,z?b将球x2?y2?z2?4体积三等分．求a,b．
提示：显然b??a，设球体位于平面z?a之上的部分为?，体积为V，则V?222??(x,y)?Dz??(x,y)|x?y?4?z??:? ??a?z?232?．将?表示为 9则
22321??16??V????dv??dz??dxdy????4?z2?dz????4a?a3?，因此3a3?36a?16?0．
aa93??3?Dz3. 求???zdv，?:x2?y2?z2?2,z2?x2?y2,z2?3x2?3y2,z?0．
?提示：积分区域可用球坐标表示为
?0???2??????:????
3?4??0?r?2
所以
23＝d?d?rcos?rsin?dr zdv???????2??2?0401??d???sin?cos?d??r3dr?2???4??. 00842?32?第 5 页 共 5 页