研究生课程进修班试卷封面
姓 名： 唐耀军 单 位：平顶山新华区香山街小学 专 业： 数学 考试科目： 现代数学与中学数学 考试分数：
2011年 10月 15 日
东北师范大学研究生课程进修班考试试卷评分表
题 号 分 数 签 名 课程名称 现代数学与中学数学 姓 名 唐耀军 1 2 3 单 位 新华区香山街小学 专 业 数学 2011年10月15日 9 10 4 5 6 7 8 总 分 评阅教师签字： 年 月 日 一、（10分）对下列各式，判断其对错，或加以证明，或举出反例。 （1）fo(g＋h)＝fog＋foh （2）(g＋h)of＝gof＋hof 解答：（一）错误 1,x＞0
例如f(x)＝ g(x)＝-2x,h(x)＝x
-1,x＜＝0
（二）正确
(g＋f)oh(x)＝(g＋f)(h(x))＝f(h(x))＋g(h(x))＝foh(x)＋goh(x)
二、（10）分 若函数f(x)在点x＝a可导，计算
f(a＋2t)－f(a) f(a＋2t)－f(a＋t) （1） （2）lim lim 解答：
f(a＋2t)－f(a) （1）原式＝ 2lim 2t ＝2f′(a).
t→0 t→0 t t→0 2t f(a＋2t)－f(a) f(a＋t)－f(a) 2t （2）原式＝ t→ 2t － 0 lim f(a＋t)－f(a) f(a＋2t)－f(a) 1lim lim ＝ － 22t t t→0 t →0 ′ 12tf (a) ＝f′(a)－ 2 ＝ 2f(a). 1′
三、（10分）求一函数y＝f(x)，其曲线过坐标原点且曲线上每一点切线斜率是该点横坐标的2倍。 依题意设f(x)＝x，
f′(x)＝nx，设切点坐标为(x0，y0)， 由nx0＝2x0 n＝2， ∴y＝f(x)＝x2.
n-1
n-1n
四、（10）分 证明：若0﹤x1﹤x2﹤x3﹤π，
sinx2－sinx1 sinx3－sinx2 则 ＞ x2－x1 x3－x2
证明： [必要性] x3－x2 x2 ＝λx1＋(1－λ)x3， 记λ＝λ 兰姆达兰λ x3－ x1 由f(x)的凸性可知f(x2)＝f[λx1＋(1－λ)x3]≤λf(x1)＋(1－λ)f(x3)
x3－x2 x2－x1 f(x) ＝≤由由 ＝ ＋＋ f(x3)， 1x3－x1 x3－x1 (x3－x1)f(x2)≤(x3－x2)f(x1)＋(x2－x1)f(x3)，
即：(x3－x2)f(x2)＋(x2－x1)f(x2)≤(x3－x2)f(x1)＋(x2－x1)f(x3)，
f(x2)－ f(x1) f(x3)－ f(x2) ≤ ， x3－x2 x2－x1 [充分性] 在图上任取两点x1 ,x3 ( x1＜x3)，在[x1 ,x3]上任取一点x2＝λx1＋(1－λ)x3, λ∈(0,1)，即λ＝ x2－x1 ，由必要性推导过程可知f[λx1＋(1－
λ)x3]≤λf(x1)＋(1－λ)f(x3)，故f(x)为凸函数，同理可证f为I上凸
函数的充要条件是，对于I上任意三点x1﹤x2﹤x3，有 2 － 1 ≤
x3－x2
f(x3)－ f(x1) f(x3)－ f(x2) ≤ x3－x2 ，所以原命题结论成立。 x3－x1 x2 y2 z2 五、(10分) 求顶点在坐标原点的锥面 ＋ － ＝0与平面
a2 b2 c2 f(x)f(x)x2－x1
z ＝ c所围成的锥体的体积。
答：任取z∈(0,c)，过点(0,0,z)作垂直于z轴的平面，截面为椭圆，
x2 y2 其方程为 1＝ ， 22 ＋ 22 azbz c2 c2 z ， V＝ 椭圆面积S(z)＝ ，2 cπab 2∫
0
c
πab S(z)dz＝ c2 ∫0 z，dz 2c＝3 πabc.
六、(10分) 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.3，0.6。今各投2次。求甲比乙投中次数多的概率。 解：(1)甲中1次乙中0次的概率为：
p1＝2×0.3×(1－0.3)×(1－0.6)2＝0.0672； (2)甲中2次乙中1次的概率为：
p2＝0.3×0.3×2×0.6×(1－0.6)＝0.0432； (3)甲中2次乙中0次的概率为： p3＝0.3×0.3×(1－0.6)2＝0.0144； 所以甲比乙投中次数多的概率为： P＝0.0672＋0.0432＋0.0144＝0.1248
1
七、(10分) 要研究某种物质致癌性质，用小白鼠做实验。假定把50只小白鼠随机地分成10组，每组5只，对每只小白鼠注射该物质，经过一段时间后，观察每组小白鼠患癌的个数，得到X1，X2，…，X10，则Xi～B(5,p)，i＝1,2,…10,这里p就是这种物质致癌的概率。试导出p的最大似然估计值的计算公式。
答：设事件A发生的概率P(A)＝p，定义随机变量 1，若在一次试验中事件A发生，
X＝ 0，若在一次试验中事件A不发生. 则，X～B(1,p),它的分布律为： P(X＝x)＝px(1－p)1-x，x＝0,1. 现有样本X1,X2,…,Xn，故似然函数为
n
n
n i＝1
n－∑xi
i＝1
∑xi x1-x
L(p)＝ ∏p i(1－p)i ＝p i=1 (1－p)
i＝1