V??2?y0.110?h?1.5?cos??1.5?0.4?y?tan?1.5?R1tan?R2??0.625?y???z?1.5?dzdy
1.52??z?1.5?dzdy
222?h?1.5?cos??1.5?0.4tan?V??2102??h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?0V1?V11?V12； 2.当
7.6tan??1.5cos??1.51.5cos??1.4tan?时， ?h?cos?cosV21=V11
V22??2?0L?h?1.5?cos??1.5?0.6tan?01.52??z?1.5?dzdy
2V2??2?83y1?h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?1.5?R2R2??y?7.375???z?1.5?dzdy
22V2?V21?V22?V23； 3.当
131.5cos??1.4tan?1.5cos??8.6tan??h?时，
cos?cos?y0?1LV???Rdy??2?y0210?h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?1.5?R1R12??z?1.5?dzdy
22V3??2?02?h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?01.52??z?1.5?dzdy
V33??2?8y1?h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?1.5?R2R2??y?7.35???z?1.5?dzdy
22V3?V31?V32?V33；
4.当
1.5?1?cos???0.4tan?8.6tan??1.5cos?时， ?h1?cos?cos?y00?1y01.5?R1V41???R12dy??V42＝V32
V43??2?8y1??h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?R12??z?1.5?dzdy?V31
2?h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?1.5?R2R2??y?7.35???z?1.5?dzdy???R22dy
y1229V4?V41?V42?V43；
5.当1.5??h?1.5?cos??0.4tan??h1?1.5??h?1.5?cos??1.6tan?时，
2V???Rdy????R2??0.625?y??dy
??1?1?152100V52???1.52?y1
16
V??2?y14y1835L?h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan??h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?01.52??z?1.5?dzdy
2R??y?7.35???z?1.5?dzdy????R2??y?7.35??dy??y122292V5??2?1.5?R2V5?V51?V52?V53?V54。
在此模型中，我们取双变位??3?，??4.3?时，由编辑程序（见附录）制的油位高度间隔为10cm的罐容表如表3所示。
表3.纵向横向同时变位时，即??3，??4.3
油位高度/mm 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500
4变位参数的确定
根据题目给出的罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，我们通过matlab描出各对数据的对应点，如图17所示。从图上可以看出，这些点的连线大致接近于一条直线，如果要想确定纵向倾斜角度?和横向偏转角度?，必须采用一些辨识方法来对参数进行估计，这里我们就采用了线性最小二乘法原理。
我们假设罐体的油量的体积和油位高度的关系函数是V?f(h),
f(h)?ah?b，其中a和b是待定常数。常数a和b确定了之后我们就可以根据
油量/L 69.89519 377.7966 996.0623 1939.966 3241.934 4835.118 6656.727 8697.624 10898.89 13245.99 15717.34 18293.2 20955.14 23685.61 26467.68 29284.88 油位高度/mm 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 油量/L 31198.0788 34959.9221 37745.2732 40581.6748 43331.7512 46018.8368 48625.3466 51132.7997 53521.4626 55769.814 57853.6804 59744.6812 61406.9011 65057.9031 64952.7523 前面所建立的表达式来求出?和?。根据最小二乘法原理，要想使我们建立的函
17
7x 1046543210050010001500200025003000
图17
数尽可能过这些点，必须使函数值和实际数据的偏差最小，即：vi?f(hi)很小。因为每个偏差都很小，其中有正有负，所以我们对偏差取绝对值求和来保证每个偏差都很小，即：?|vi?f(hi)|很小。
i?1n 由于取绝对值不便于进一步分析讨论，而任何实数的平方都是正数或零，所以我们建立了根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数a、b。
M??(vi?f(hi))??(vi?(ahi?b))2
2i?1i?1nn利用多元函数的极值及最大值、最小值原理，我们把求偏差的平方和最小归结为求函数
M?M(a,b)在哪点取得最小值。方程组为：
??Ma?a,b??0 ?Ma,b?0????b的解来解决，即令：
18
n??M?Vi??ahi?b???hi?0??a??2???i?1 ?n??M??2?V??ah?b???0?i?i??i?1??b亦即
?n?Vi??ahi?b????0??hi??i?1 ?n????Vi??ahi?b????0??i?1将括号内各项进行整理合并，并把未知数a和b分离出来，便得
nn?n2ii?a?hi?b?hi??hV?i?1i?1i?1 ?nn?ah?8b?V??ii?i?1i?1?b?16.77679。 然后通过matlab编程解上试方程组，得到a?231488.45176，
在对模型二中的表达式求积分,得到一个函数表达式,根据上面求出的a和b来对
应的求出?和?，其中??2.1?,??4.2?.并且当???4.2?时?都不变，因为横向左右偏转角度一样结果不变。由于当油位高度和体积不同时，所求的?和?也不同，我们做了多次计算，然后对结果进行了分析，发现当纵向倾斜角度增大时，偏转角度逐渐下降，它们是成反向的关系。同时通过前面对偏转倾斜所建立的模型可以看出来，它们之间的关系也是存在此种关系的。当然由于最小二乘法估计参数的实时性较差，所以会出现一些误差，导致计算出来的数据不是很精确，可能用另外的方法估计参数会使误差更小，这也是我们模型的不足之处。
7 模型的评价
模型的优点：
（1）本文模型充分利用了微元思想和积分的方法，将储油分割成许多微小薄面单元，从中选取一个小单元进行研究，再对其积分找出整体的规律。
（2）模型在MATLAB环境下计算，并对问题一中的实际数据与理论数据的拟合曲线比较，得到误差范围0.014866?E1?0.034917，充分提高了模型结果的准确性与精确性。问题一中当纵向倾斜??4.1?时，由模型一中的函数关系算出的理论数值与其记录的实际数值一一对应的相对误差1.42%?E2?3.37%。其误差值相对较小。
（3）在问题二中我们采用了分段考虑、合理切截和微积分方法进行了模型的建立，用递推的最小二乘法进行参数估计。 模型的不足：
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本文模型忽略环境的改变对储油体积的影响以及油位探针，注油口管，出油管对储油罐中剩余油体积的影响，从而使得模型的误差变大。模型的模拟实验不可能和实际完全一致，因为很多未量化数据收集误差等因素因此不能完全准确的进行分析。模型仍然需要修正和完善。
8 模型的改进与推广
本文假设实验环境的温度、压强、密度保持不变，但实际应用中环境的温度以及压强随时间不断改变的，因此储油罐中油的体积在不同时间会随着温度等其它未经量化的因素的影响而不同。 8.1 模型的改进
将环境的温度变化对储油量的体积的影响关系引入，从而减少理论数据与实际数据的误差。比如汽油的胀系数B1=12×T(1/℃) 其中 ，即气温每上升1度，体积增大为原来的1.0012。 8.2模型的推广
本文通过设计储油罐的变位识别与罐容表标定模型有效的模拟出储油量与油位高度以及变位参数之间关系的数学模型，具有很好的预测和拟合效果，因此有较强的现实意义，可以在现实生活中广泛应用。
9 参考文献
[1]刘卫国.MATLAB程序设计与应用.北京：高等教育出版社，2006年第二版. [2]同济大学应用数学系编.高等数学.北京：高等教育出版社，2006年第三版. [3]华东师范大学数学系编.数学分析.北京：高等教育出版社，2008年第三版. [4]韩中庚.数学建模竞赛获奖论文精选与点评.北京：科学出版社，2007.
[5]用逼近法计算横截面为椭圆形圆形储油罐的储油体积，百度文库，[2010-9-11].http://wenku.http://www.wodefanwen.com//view/3ecedebfc77da26925c5b00f.html
程序：
附录一：
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