Ch.9.电磁感应、电磁场作业习题及解答
9-2. 如图,两相互平行的长直导线载有等值反向的电流I(t)，某矩形导线圈与两导线共面,其一对边长平行
于两直导线，其位臵、尺度如图示。 求: 该导线圈中的感应电动势。
解: 取导线圈回路的正绕向为顺时针绕向，
两长直电流产生的磁场为：
B(x,t)?I )
I l2 x l1 X ?0I(t)2?(1x?d2?d1?1xO 通过该矩形导线圈中的磁通量为： ?m(t)?d2 l2 x 1?1x)dx?d?m(t)??0I(t)l12??S??B(t)?dS?d1?l2d1?d2?l2d2B(x,t)l1dx?)?0I(t)2?l1?d2?l2d2(x?d2?d1??m(t)?(ln?lnd2?l2d2
则该导线圈中的感应电动势为：
?i(t)??dI(t)dtdI(t)dtdI(t)dtd?mdt???0I(t)l12?(lnd1?l2d1?lnd2?l2dI(t))d2dt
?0??i?0, 则该导线圈中的感应电动势为零； ?i?0, 则该导线圈中的感应电动势为逆时针绕向； ?i?0, 则该导线圈中的感应电动势为顺时针绕向。
?0??0?9-4. PM和MN两段导线，其长均为10cm，在M处相接成30°角，若使导线在均匀磁场中以速度
v＝15 m/s运动，方向如图，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B=25×10-2T。 问：P、M两端之间的电势差为多少？哪一端电势高? 解：设运动导线上的动生电动势沿P→M→N，即 ?PN??PM??MN
式中?PM是导线PM上的动生电动势：
????PM?(v?B)?lPM?vBlPMcos???vBl?PM是导线MN上的动生电动势：
?MN????(v?B)?lMN?vBlMNB × × × × × × × × × × × × × × v N P × × × ×M × × × PM30°
× × × × × × ×
cos30
?cos150???vBlMN两式中lPM?lMN?10cm，所以有：
?PN??PM??MN??vBlPM(1?cos30)??7.0?10??3V
式中“-”号表明，导线上的动生电动势方向与所设正方向相反，由N指向P，即导线上的动生电动势 方向为：沿N→M→P. 因而P、M两端之间的电势差为：
UPN?VP?VN???PN?7.0?10?3V
即运动导线上P端的电势高。
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?9-5. (选做题）如图，在水平面内某矩形导体回路臵于均匀磁场B
中（其方向与回路法线间的夹角θ=π/3），已知磁感应强度
?，回路的MN B的大小随时间线性增加，即B=kt（k>0）
en O B M θ?? 边长为L，以速度v匀速向右移动，初始该边在x=0处。 求: 任意时刻导体回路中的感应电动势,并指明其绕向。
解:与矩形导体回路法向相顺应，该回路的正绕向为逆时针绕向。
该矩形导体回路中的磁通量为：
N v x X ?? ?m(t)?B(t)?S?B(t)cos?S(t)，式中B(t)?kt、S(t)?Lx(t)?Lvt??m(t)?kLvt2
则该矩形导体回路中的感应电动势为：?i(t)??
该感应电动势为负，表明其绕向为顺时针绕向。
d?mdt??2kLvtcos??0
9-6. 如图所示，一长直导线通有电流I=0.5A，在与其相距d＝5.0m处放有一矩形线圈，共1000匝。线圈
以速度v=3.0m/s沿垂直于长导线的方向向右运动时，线圈中的动生电动势是多少？（设线圈长l＝4.0cm，宽b=2.0cm）
解: 距离长直导线为x的位臵，由长直导线产生的磁场为:B(x)??0I2?x 磁场方向垂直纸面向里。 法一（动生电动势法）：
线圈运动到图示位臵时，动生电动势由两长边切割磁感应线而产生。对单匝线圈，有
????i??(v?B)?dl?vB1l?vB2l
LI l O ?v X 式中：B1??0I2?d,B2??0I2?(d?b)d b
?0I2?d1d 所以，单匝线圈内的电动势为： ?i??0Ilv2?lv??0I2?(d?b)1lv
线圈内总电动势为：??N?i?N 总电动势方向：沿顺时针方向。 法二（法拉第电磁感应定律法）：
(?(d?b))?6.86?10?5V
如图所示，设t时刻矩形线圈的两边距长直导线电流分别 为x和x+b，
则通过回路的磁通匝链数为：
??N?m?N??B?dS?N回路正绕向 I ?v O ?S?x?bx?0I2?xldx ?N?0Il2?2
lnx?bx
X
x x+b Ch.9.电磁感应、电磁场作业习题及解答
由题知：x?vt,???d?dt?Ndxdt?v，则感应电动势为：
?0Ildlnx2?[dt?dln(x?b)dt]?N?0Ilbdx2?x(x?b)dt?N?0Ilb2?x(x?b)v
运动到题中图示位臵时，x=d，则有：
?x?d?N?0Ilb2?d(d?b)v?6.86?10?5V?0
ε>0，表明电动势的绕行方向与设定的方向一致，即顺时针绕向。 9-9. 在B=0.50T的均匀磁场中，臵一导线回路如图，其中一段为半径
r=0.10m的半圆，图中l=0.10m. 导线PMNQ以PQ为轴转动，转 速n=3600r/min。设电路的总电阻（包括电表M的内阻）为R=1000Ω。 求：导线中的动生电动势和感应电流的频率以及它们的最大值。 解：导线PMNQ转动的角速度为： ??2?n?120? (rad/s)
60P l M r M ?BN × Q l 设开始转动时，导线PMNQ处在图示位臵，取回路的绕行方向为顺 时针，则t时刻通过该导线回路中的磁通量为:
??Φm?B?S?BS1?BS2cos?t
M,N,Q ??=ωt ?S ?B
式中S1是回路矩形部分面积，S2是回路的半圆导线所谓面积，S2=π r/2. 该导线回路中的感应电动势、感应电流的表达式分别为：
?i(t)??Ii(t)?dΦmdtR?BS2?sin?t??Imsin(120?t)
122
?rB?sin?t??msin(120?t)
2?i(t)则感应电动势的频率、感应电流的频率皆为：??则感应电动势、感应电流的最大值分别为： ?m?BS2??1?r2B??2.96?10?4(V)2?2??60Hz
Ii(t)??mR?2.96?10?7(A)
?9-13. 如图表示一个限定在半径为R的圆柱体内的均匀磁场B，B以1×10-2T/s的恒定变化率减少，电子
在磁场中A、O、C各点处时，设r=5.0m.
求：它所获得的瞬时加速度(大小和方向)。
解：由题知，A、C两点在同一半径的圆周上，由对称性可知，在这两点处
? 感应电场E的大小相同。以r为半径，作顺时针的闭合回路L，则L所
???围面积S与B同方向，设L上各点E的方向处处沿L的切向。
?根据：?L?????BE?dL????dS，可求得：
?tSE?EA?EC??
?rdB2dt(r?R)
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据题意，dB??10?2T/s < 0，所以：
dt E??rdB2dt??5?102?2?(?10?210 V/m > 0 )V/m=2.5×
?-4
E> 0表明，在A、C两点处感应电场E的方向与顺时针绕向L的切线方向一致。 在O点处，由于r=0，故有：Eo=0
电子在A、C两点处受电场力为：Fe??eE
?设电子的质量为me，因受感生电场力而获得的瞬时加速度为：a??Feme??eme?E
?? 瞬时加速度的大小为：aA?aC?eme7E?4.47?10m/s
2
??a 在A、C两处电子的加速度与该两处的E反方向。电子在O点处不受力，故ao=0.
9-18. 一截面为长方形的螺绕管，其尺寸如图所示，共有N匝，（R1、R2、h为已知量)， 求：此螺绕管的自感。
解：设螺绕管中通有电流I，如图取Or坐标系、取微元截面dS =hdr,
在R1< r < R2的管腔中的区域，取半径为r的圆为回路，则 由安培环路定理，可得：B2?r??0NI ∴管腔中的B值为B??0NI2?r
则通过此微元截面的磁通量为:dΦm=BdS=(μ0NI2πr)hdr 则通过此螺绕管的管腔的磁链为:
??N?m?Nh R1 R2 O r dS=hdr ?S??B?dS?N?R2R1?0NI2?r?hdr?2?0NIh2?R2R12lnR2R1
此螺绕管的自感系数为：L??I?0Nh2?ln
9-19. (选做题） N1=50匝、面积S1=4cm2的圆形导线圈A，与N2=100匝、半径为R2=20cm的圆形导线
圈B共面、同轴。(1) 求两线圈的互感；(2) 线圈B的电流随时间的变化率为dI/dt=50A/s的情况下， 求线圈A中的磁通链随时间的变化率；(3) 求此情况下，线圈A中的感生电动势。
解: (1) 设线圈B载电流I，因为线圈A的面积远小于线圈B, 则可视I在线圈A面积区域产生的磁场
匀强, 该磁场正交穿过面积S1、其值为：B??0N2I2R2
穿过线圈A的磁通链为： ?m?N1?m?N1BS1?N2N1S1?0I2R2?I 则两线圈的互感为：M??mI?N2N1S1?02R2?6.28?10(H)
(2) 线圈B的电流变化率为dI/dt=50A/s的情况下，线圈A中的磁通链随时间的变化率为：
d?mdt
6??0N2N1S1dI2R2dt??3.14?10(Wbs)
?4?14
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(3) 此情况下，线圈A中的感生电动势为：
?iA??d?mdt?MdIdt?4?1?3.14?10(Wbs)
9-21. 一矩形线圈长L＝20cm，宽b＝10cm，由100匝表面绝缘的导线绕成，放臵在一根长直导线的旁边，
并和直导线在同一平面内，该直导线是一个闭合回路的一 部分，其余部分离线圈很远，其影响可略去不计． 求：图(a)、(b)两种情况下，线圈与长直导线间的互感。 解：在图(a)情况下，设长直导线通有电流I，其在矩形线圈内
任意点x处产生的磁感应强度为: B??0I
2?xb b l dx O 通过该矩形导线圈的磁通量为：
?a?N?S??B?dS?N?2b?0I2?xbldx?N?0Il2?ln2
x (a) b/2 X 长直导线与矩形导线圈之间的互感为:
Ma??aI?N?0l2?ln2?2.8?10?6H
在图(b)情况下，矩形线圈相对长直导线对称，通过矩形线圈的磁通 匝链数为零。所以，有：?b?0
则长直导线与矩形导线圈之间的互感为: Mb?0
9-25. 一根长直导线，其μ≈μ0，载有电流I，已知电流均匀分布在导线的横截面上。 求：单位长度的该导线内贮存的磁场能。
解: 由电流分布的轴对称性知，其磁场分布也是轴对称的。在长圆柱形
导线横截面取同心(O)圆周环路，应用安培环路定理，有：
l (b) I ?L??B?dl?B(r)2?r??0i,L内?Ii
22O r R r?R:B2?r??0(I?R)?r
?B(r)?(?0I2?R)r,2?m(r)?B22?0??0Ir228?R
24在导线内r处取单位长(l=1m)的微元体积dV = 2πrldr =2πrdr (是与该长圆柱形导线同轴的薄圆筒）， 此微元体积中的磁场能为：
dWm=?mdV?2424?0I28?Rr2?rdr?2?0I4?Rrdr3
则单位长度的该导线内贮存的磁场能为：
Wm??dWm??0I24?R4?0rdr?R3?0I216?
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