课 题：正弦定理、余弦定理（3） 教学目的：
1进一步熟悉正、余弦定理内容；?
2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；? 3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；?
4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式?
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求?
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：启发引导式?
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；?
2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用 教学过程：
一、复习引入： 正弦定理：
asinA2?bsinB2?csinC?2R
余弦定理：a?b?c?2bccosA,?cosA?2b?c?a2bcc?a?b2ca22222
2b2?c?a?2cacosB,?cosB?22
c?a?b?2abcosC，?cosC?二、讲授新课：
1正余弦定理的边角互换功能?
222a?b?c2ab222
对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决?
例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且的值 sinAsinB?23，求
A?BB解：∵∴
ab?asinA32?bsinB,?sinAsinB?ab,又sinAsinB?32(这是角的关系)，
?3?22?52.
(这是边的关系)于是，由合比定理得a?bb例2已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列 求证：sinA＋sinC＝2sinB
证明：∵a、b、c成等差数列，
∴a＋c＝2b(这是边的关系)①?
又
asinAsinBbsinCc?③
sinB?b?csinC,?a?bsinAsinB②
将②、③代入①，得
bsinAsinB?bsinCsinB?2b整理得sinA＋sinC＝2sinB(这
是角的关系) 2正、余弦定理的巧用?
某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下： 例3求sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°的值 解：原式＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°
∵20°＋10°＋150°＝180°，?
∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角? 设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2＋b2－2abcos150°＝c2（※）?
而由正弦定理知：a＝2Ｒsin20°，b＝2Ｒsin10°，c＝2Ｒsin150°，代
入(※)式得：
sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin2150°＝∴原式＝
114
4 例4在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长(sin2??2sin?cos?)?
分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建
立边角关系其中sin2??2sin?cos?利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的?
解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ，又设最小角为α，则?
xsin??x?2sin2??2
*
x?22sin??cos?2
2
,?cos??2
x?22x①
又由余弦定理可得ｘ＝（ｘ＋1）＋（ｘ＋2）－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cosα? 将①代入②整理得：ｘ－3ｘ－4＝0? 解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)? 所以此三角形三边长为4，5，6?
评述： 此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程 例5已知三角形的一个角为60°，面积为103cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长 分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC＝面积，其三是周长条件应用?
解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得
12absinC表示
222?a?c?b?cos60??2ac?a?b?c?20??1?222??acsin60??103??b?a?c?ac ?2?ac?40??a?b?c?20??① ② ③
由①式得：b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c） ④? 将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0? 再将③代入得a＋c＝13? ?a?c?13解得由?ac?40??a1?5?a2?8或? ∴b1＝7，b2＝7? ?c?8c?5?1?2所以，此三角形三边长分别为5cｍ，7cｍ，8cｍ?
评述： (1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要
注意含有正弦形式的面积公式的应用?
(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力?
三、课堂练习：
1在△ABC中，已知B=30°,b=503,c=150，那么这个三角形是( )
A等边三角形?B直角三角形?C等腰三角形? D等腰三角形或直角三角形
2在△ABC中，若bsinC+csinB=2bccosBcosC，则此三角形为( )?
2222
A直角三角形? B等腰三角形?C等边三角形? D等腰直角三角形
3在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，则secA= ?
4△ABC中，
tanAtanB?sinAsinB，则三角形为 ?
5在△ABC中，角A、B均为锐角且cosA＞sinB，则△ABC是 6已知△ABC中，
a?b?ca?b?c2
2
222?c且acosB?bcosA，试判断△ABC的形状 27在△ABC中，（a+b）sin(A-B)=(a-b)sin(A+B)，判断△ABC的形状??? 参考答案：1D 2A 3 8 4等腰三角形?5钝角三角形
22
6等边三角形 7等腰三角形或直角三角形?
四、小结 熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断 五、课后作业：? 1在△ABC中，已知
sinAsinC?sin(A?B)sin(B?C)，求证：a2，b2，c2成等差数列 证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）?
cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B??2cos2B＝cos2A＋cos2C
2?1?cos2B2?1?cos2A2?1?cos2B2 ∴2sin2B＝sin2A＋sin2C?
由正弦定理可得2b2＝a2＋c2, 即a2，b2，c2成等差数列? 2在△ABC中，A＝30°，cosB＝2sinB－3sinC (1)求证：△ABC为等腰三角形；(提示B＝C＝75°)?
(2)设D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点，且AB＝2，求AD∶DC的值
答案：（1）略 （2）1∶3 六、板书设计（略） 七、课后记：