基于 MATLAB 的平面四杆机构运动学分析
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雷经发 ， 扈静 ， 魏涛
（1.安徽建筑工业学院 机械与电气工程系，合肥 230601；2.合肥工业大学 机械与汽车工程学院，合肥 230009）
摘 要：文中以铰链四杆机构为研究对象，在对其进行运动分析的基础上，建立数学模型，应用 MATLAB/GUI 工具箱，
开发出了平面四杆机构的运动学分析系统软件。用户只需在系统图形界面的文本编辑框中交互地输入四杆机构各构件 的参数和原动件的角速度，就能迅速地输出当原动件转动 1 周时从动件的位移、速度、加速度的变化规律曲线。 关键词：铰链四杆机构；MATLAB/GUI；运动学分析
中图分类号：TH112 文献标识码：A 文章编号：1002－2333（2009）09－0076－03
Kinematic Analysis of the Planar Four Bar Linkage Mechanism Based on MATLAB
LEI Jing-fa1， HU Jing2， WEI Tao2
（1.Department of Mechanical and Electrical Engineering, Anhui University of Architecture, Hefei 230601, China;
2.School of Mechanical and Automotive Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China）
Abstract： In this paper, the four bar linkage Mechanism was studied. On the basis of the kinematic analysis of the mechanism, a mathematical model was established and a system for the kinematic analysis of the mechanism was developed with MATLAB/GUI. In the system, when the original piece of the mechanism was turning around, once the parameters of the components of the four bar linkage mechanism and the angular velocity of the original moving piece were entered to the text edit boxes of graphical interface, the change law curves of the displacements, the speeds and the accelerations of the followers can be output quickly.
Key words： four bar linkage mechanism; MATLAB / GUI; kinematic analysis
1 引 言
平面连杆机构在工程实际中的应用非常广泛，不仅 因其结构简单、制造容易、工作可靠，还因为平面连杆机 构能承受很大的载荷、能实现多种运动规律和运动轨 迹。机构的运动分析是在机构几何参数为已知的情况 下，根据主动件的运动规律（通常认为作匀速运动）和构 件之间的运动学约束关系，分析确定其他构件的运动规 律，如从动件的角位移、角速度、角加速度，从动件上某 些点的轨迹、位移、速度、加速度等运动参数。机构的运 动分析通常可使用图解法和解析法来进行，但图解法需 要作图、计算工作量大、精度较差，因此在实际工程设计
式较复杂，计算工作量较大，但随着计算机科学的发展，
会得到广泛的应用［2］。用解析法作机构的运动分析，应首 先建立机构的位置方程，然后将位置方程对时间求一次 和二次导数，即可求得机构的速度和加速度方程，进而解 出所需位移、速度及加速度，完成机构的运动分析。在建 立和推导机构的位置、速度和加速度方程时可以采用不 同的数学工具，因此解析法有很多种。其中，复数矢量法 和矩阵法便于应用计算机求解 ［3］。下面以复数矢量法对 铰链四杆机构进行分析［4］。
如图 1 所示铰 链 四 Y E 杆机构中，已知杆长分别 C l1、l2、l3、l4，原动件 1 的 应用中有很大的局限性；解析法计算工作量虽然很大， 为 b 2 a θ2 B θ1 及角速度 ω1，要 但随着计算机科学的发展，其在工程设计中应用越来越 转角为 3 1 位 广泛，很多软件为解决复杂的工程计算提供了强有力的 求确定构件 2、3 的角 θ3 θ1 ［1］4 移、角速度和角加速度。 武器。
A D X 本文运用 MATLAB/GUI 工具箱，开发出一套平面四 2.1 位置分析
图 1 铰链四杆机构 将 铰 链 四 杆 机 构 杆机构运动分析系统。通过本系统，只需在系统图形界面
1 所示。若以 l1、l2、l3、 的文本编辑框中交互地输入四杆机构各构件的参数和原 ABCD 看作一封闭矢量多边形，如图 动件的角速度，就能迅速地输出当原动件转动 1 周时从 l4 分别表示各构件的矢量，该机构的封闭矢量方程式以 动件的位移、速度、加速度的变化规律曲线，具有融计算 复数形式表示为
軆l 1+軆l 2=軆l 4+軆l 3 （1） 与绘图为一体，操作简便、界面友好，计算速度快，准确性 高的特点。作为一种运动分析的方法，在系统中改变尺寸 参数，可以直观的观察到机构运动特性的变化。
2 平面四杆机构运动分析的数学模型的建立 解析法可以
得到较高的计算精度，但建立数学关系
iθ=l+le iθ（2） 43l1ei θ+l2e
规定角 θ1 应以 X 轴的正向逆时针方向度量。 应用欧拉公
iθ式 e=cosθ+isinθ 将式（2）的实部和虚部 分离，得
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l1cosθ1+l2cosθ2=l4+l3cosθ3 l1sinθ1+l2sinθ2=l3sinθ3
｝
（3）
由此方程组可以求出未知方位角 θ2、θ3。
当要求解 θ3 时，应将 θ2 消去，为此可先将式（3）两分 式左端含 θ1 的项移到等式右端，然后分别将两端平方并 相加，再设 A=2l1l3sinθ1
B=2l（） 3 l1cosθ1-l42 2 2 2
C=l－l－l－l＋2l l cosθ
2 1 3 4
3 平面连杆机构运动学分析在 MATLAB 中的程序设计 在上述分析的基础上，作者运用 MATLAB 语言编写 了上
述算法和一些绘图程序，并利用 GUI 工具箱创建系 统界面。当从开发的软件界面输入各机构的各参数的时 候，系统就会按照预定算法进行计算，并绘制所需要的运 动规律曲线图，即在 MATLAB 软件中得以实现。 图 2 即是简 单平面连杆机构 运动分析系统的 整体的程序设计 流程图，完全是 从用户使用软件 的角度来进行设 计的。具体描述
打开系统 选择机构类型 输入机构参数 1 4 1
解之可得 tan（θ3 /2）＝（A± 姨A2＋B2－C2 ）（ B－C） /（4）
在求得了 θ3 之后，可利用式（3）求得 θ2。式（4）有两解，可 以根据机构的初始安装情况和机构运动的连续性来确定 式中“±”号的选取。
2.2 速度分析
将式（2）对时间 t 求导，可得
l1ω1ei θ+l2ω2e iθ=l3ω3e iθ123 不合理 报错 判断 重新输入机构参数 合理 确定 不合理 内部判断 合理 内部运算 输出曲线 打印窗口 关闭窗口 （5） 如下：（1）从打开
系统，用户可以
軆 軆 軆 式（5）为vB+vCB=vC 的复数矢量表达式。将式（5）的实部
选 择 机 构 类 型
和
（铰链四杆机构 虚部分离，有 l1ω1cosθ1+l2ω2cosθ2=l4+l3ω3cosθ3 和 曲 柄 滑 块 机 l1ω1sinθ1+l2ω2sinθ2=l3ω3sinθ3 构，本文以铰链 联解上两式可以求得两个未知角度 ω2 和 ω3，即
ω=ωlsin（θ－θ）［/ lsin（θ－θ）］ （6） 四杆机构为例）； 31112
332
图 2 整体流程图 ω2=-ω1l1sin（θ1－θ3）［/ l2sin（θ2－θ3）］
2.3 加速度分析 将式（2）对时
间 t 求导，可得
2 iθ1iθ2iθ2iθ3iθ3（7） （2）输入机构各参数（对于铰链四杆机构需输入四杆长度 和原动件角速度）；（3）输入机构参数，若书写有错误系统 会
报错，得重新输入参数；（4）无书写错误后，点击“确定”
（8） 按钮，系统会根据杆长条件，对输入参数进行判断，若不
合适，系统会报错，用户得重新输入参数；若符合条件，则 按照预先写好的算法程序进行运算，并输出规律曲线； （5）系统中还有“重新输入”按钮，可以在多个地方使用该 按钮，方便用户可以在不必关闭窗口的情况下，清空原有 输入输出信息，而重新输入参数；（6）为了使用户方便地 得到纸质文件，系统提供了打印按钮；（7）点击“关闭窗 口”即可退出系统。 4 实例
本 文 中 开 发 的软件系 统 是 给 定四杆机 构 各 构 件参数和 原 动 件 的角速度，就能迅 速地输出 当 原 动 件转动 1 周 时 从 动 件 的 位 移 、速
2 2
il1ω1 e +l2α2e +il2ω2 e =l3α3e +il3ω3 e 軆 軆軆軆t 軆軆t 軆n
n
式（8）为αB +αCB +αCB =αC +αC 的复数矢量表达式。将式（8）的
实部和虚部分离，有 2 2 2
l1ω1 cosθ1+l2α2sinθ2+l2ω2 cosθ2=l3α3sinθ3+l3ω3 cosθ3
2 2 2
-l1ω1 sinθ1+l2α2cosθ2-l2ω2 sinθ2=l3α3cosθ3-l3ω3 sinθ3
联解上两式即可求得两个未知的角加速度 α2、α3，即 2
（θ －θ）＋ω2 l －ω2 l cos（θ －θ）
2 2 3 3 3 2 （9） α3= ω1 l1cos 1 2
l3sin（θ2 3－θ2） 2
（θ －θ）－ωl cos（θ －θ）＋ω2 l
－ωlcos 2 2 1 2 3 3 （10） 2 3 α2= 1 1l3sin（θ3－θ2）
再讨论图 1 所示四杆机构中连杆 2 上任一点 E 的速 度和加速度。当机构中所有构件的角位移、角速度和角加 速度求出后，则该机构中的任何构件上的任意点的速度 及加速度都会很容易求得。设连杆上任一点 E 在其上的 位置矢量为 a 及 b，E 点在坐标系 AXY 中的绝对位置矢
量为軆l E=軆A軆E ，则有
軆軆 +b軋 l E=軆l 1+a軆iθiθi θ＋90°） 即 l E=l1e +be（+ae 将上式对时间 t 分别求一次导数和二次导数，并经变换整 理可以得到：
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vE = -［ω1l1sinθ1+ω（）］＋ 2 asinθ2+bcosθ2［i ω1l1cosθ1+ω（）］ 2 acosθ2-bsinθ22 l1cosθ1+α（aE = -［ω ）＋ 2 asinθ2+bcosθ21
2 ω2（acosθ2-bsinθ2）］＋［i －ω1l1sinθ1+ α（acosθ-bsinθ）-ω（22 asinθ +bcosθ）2 222］
度、加速度的变化
图 3 铰链四杆机构实例分析 规律曲线。当铰链 四 杆 机 构 的 参 数 L1 =10mm，L2 =25mm，L3 =20mm，L4 = 25mm，w1＝40rad/s 时，系统输出的曲线如图 3 所示。
5 结 语 本文采用解析法，就铰链四杆机构，进行了一些数
学 处理，建立相应的数学模型；在此基础上，用 MATLAB 语 言编写算法和绘图程序；还利用 GUI 工具箱设计了系统
2
机械工程师 2009 年第 9 期
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树脂混凝土在 MK7132B 数控卧轴矩台平面磨床上的应用
李海聪， 翁泽宇
（浙江工业大学 机械工程学院，杭州 310032）
摘 要：通过对 MK7132B 数控卧轴矩台平面磨床进行有限元模态分析，表明立柱是 MK7132B 数控卧轴矩台平面磨
床的薄弱部件之一；在立柱内部空间增加树脂混凝土材料，并对立柱进行有限元模态分析，分析结果显示，改进后立柱
的动态性能有明显的提高，所做的研究对机床设计具有指导意义。
关键词：树脂混凝土；平面磨床；模态分析 中图分类号：TP391.7 文献标识码：A
文章编号：1002－2333（2009）09－0078－02
The Application of the Resin Concrete in the MK7132B CNC Surface Grinding Machine
LI Hai-cong, WENG Ze-yu
（School of Mechanical Engineering，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 310032，China）
Abstract： Study on which merits does the research resin concretes material performance （compare with traditional machine manufacture material） has; the finite element modal analysis of the MK7132B CNC surface grinding machine was done, discovers the column is a weak part of the grinder; increases the resin concretes material in the column to improve engine bed’s dynamic characteristics，and has some significance on the design of the machine structure. Key words： resin concrete; surface grinding machine; modal analysis
树脂混凝土材料，也称为反应树脂混凝土，它是一种 由反应树脂、小石子和砂子组成的混合物。与铸铁材料相 比，树脂混凝土具有动态性能好、成型能力强、热稳定性 高、抗化学腐蚀能力强、材料价格优势等优点［1－3］，使得它 在机床上的应用越来越受到人们的重视。
1 MK7132B 数控卧轴矩台平面磨床的有限元动态分析
的特征进行简化以提高计算效率，如倒角、圆角、尺寸小
于 30mm 的孔和凸台等小特征，简化后的三维模型如图 1 所示。
对磨床进行 有限元模态分析
表 1 各阶模态下的固有频率与阻尼比
模态阶数 固有频率/Hz 模态阻尼比（/ %）
1 2 3 4 5 6 7 8 110 150 340 530 645 732 821 912 1.82 1.32 2.34 1.58 1.64 1.54 1.36 1.62
横向托板部件 立柱部件 磨头部件 垂向托板部件 床身部件 MK7132B 数控卧轴矩台 平面磨床主要 由 5 个部件组 成：床身部件， 立 柱 部 件 ，横
时，采用 4 面体 4
节点单元划分网 格，有单元 9351 个 ， 节 点 22926 个。将建好的磨 床有限元模型进
行运算后，得到 固 有 频 率 、振 向 托 板 部件 ， 其
图 1 MK7132B 数控卧轴矩台平面 磨床的三维模型 垂 向 托 板 部 件，磨头部件。
MK7132B 数控卧轴矩台平面磨床的三维实体模型先在 Pro/Engineer 中建立，然后使用数据接口将三维实体模型 导入 MSC.Patran 软件。MK7132B 数控卧轴矩台平面磨床 的动态特性是磨床的整体性能，故对整体性能影响不大
型和复特征值，再将复特征值的实部比虚部得到阻尼比。 表 1 为整机 1000Hz 内的 8 阶固有频率、阻尼比。图 2~图 9 为对应 8 阶的振型图。 由图 2~图 9 并结合 MSC.Nastran 软件显示的动画， 可以看出：第一阶振型表现为床身扭转，立柱弯曲；第二 阶振型表现为垂向拖板弯曲；第三阶振型表现为横向拖
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界面，使系统具有良好的人机交互功能。用户只需在系统
［2］ 郑文维，吴克坚.机械原理［M］.北京：高等教育出版社，1997.
界面中，输入四杆机构各构件的参数和原动件的角速度， ［3］ 哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学［M］.北京：高等教
育出版社，2004. （编辑 明 涛） 就能迅速地输出当原动件转动 1 周时从动件的运动线
图，具有融计算与绘图为一体，操作简便、界面友好，计算 !!!!!!!!!! 速度快，准确性高的特点。
［参考文献］
［1］ 孙桓，陈作模，葛文杰.机械原理［M］.北京：高等教育出版社，2006.
作者简介：雷经发（1978-），男，讲师，四川大学博士研究生，主要从事
机器人与现代机构学的研究。 收稿日期：2009-07-06
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机械工程师 2009 年第 9 期