大庆铁人中学高二第二学期第一次阶段考试
数学试题（理）
考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：王亚新 审题人：王树全 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1. 对于任意复数z?x?yi?x,y?R?,i为虚数单位，则下列结论正确的是 A.z?z?2y B.z2?x2?y2 C.z?x?y D.z?z?2x 2. 已知函数f?x?的图像如图所示，f??x?是f?x?的导函数，则 A.0?f??2??f??3??f?3??f?2? y B.0?f??3??f?3??f?2??f??2? C.0?f??3??f??2??f?3??f?2? D.0?f?3??f?2??f??2??f??3? 0 2 3 x 3. 已知命题p:复数z?m?2i1?2i(m?R,i是虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于第一象限；X
命题q：函数f?x?在?a,b?上单调递增，则f?a??b?a???baf?x?dx?f?b??b?a?则下列命题为真命题的是
A.p?q B.?p?q
C.p??q D.?p??q
4.将y?f(x)和它的导函数y?f'(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是
5.设0?a?b，且f(x)?e?x?ex,则下列大小关系式成立的是
A.f(a)?f(a?b2)?f(ab) B.f(a?b2)?f(b)?f(ab) C.f(ab)?f(a?b2)?f(a) D.f(ab)?f(a?b2)?f(b) 6. 函数y?sinx2?cosx,x??0,?? A. 在x??3处取到最小值，无最大值 B.在x?2?3处取到最小值，无最大值
C. 在x??2?3处取到最大值，无最小值 D.在x?3处取到最大值，无最小值
7. 下列不等式恒成立的是
①ex?1?x②sinx?x,x??0,??③nn?1?n??x2??n?1,n?N④ln1?x??x?2,x?0
A.②③ B.①④ C.②④ D.①③ 8. 设a?R，若函数y?eax?3x,x?R有大于0的极值点，则
A.a??1 B.a??133 C.a??3 D.a??3 9. 已知不等式
1n?1?1n?2?......?12n?a对一切大于1的自然数n都成立，则a的取值范围是 A????,1?? ?1?7?3? B.????,2?? C.(??,12) D.???,0?
10. 已知f?x??x3?3x?m，在区间?0,2?上任取三个数a,b,c，均存在以f?a?,f?b?,f?c?为边长
的三角形，则m的取值范围是
A.?2,??? B.?4,??? C.?6,??? D.?8,???
11．若自然数n使得作加法n??n?1???n?2?运算不产生进位现象，则称n为“给力数”，如：32是“给力数”，23不是给力数。设小于1000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A,则用集合A的数字组成的无重复数字的最大偶数是
A.312 B.3210 C.4312 D.43210
12．已知抛物线C:y?2x2上的点A??1,2?，直线l1过点A且与抛物线相切。直线l2：x?a?a??1?交抛物线于点B,交直线l1于点D,记?ABD的面积为S1,抛物线和直线l1，l2所围成的图形面积为S2,则
S1:S2?
A.2:1 B.3:2 C.4:3 D.随a的值而变化
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.
?12?11?xdx= .
14. 已知f?x??2x?x2f??1?,则f??1?的值为 . 15. 在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M为
AB的中点，则点C到平面A1MD的距离为 . 16. 以下说法正确的是 .
①lg9?lg11?1.
②用数学归纳法证明“1?a?a2???an?1?1?an?21?a?n?N?,a?1?”在验证n?1时，左边=1. ③已知f?x?是R上的增函数，a,b?R，则f?a??f?b??f??a??f??b?的充要条件是a?b?0.
④用分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件. 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（满分10分）?ABC的内角为A,B,C,所对的三边分别是a,b,c.若 a,b,c的倒数成等差数列，
1
（Ⅰ）求证B??2（Ⅱ）若A,B,C也成等差数列，求证?ABC为等边三角形.
18.（满分12分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
AB?BC?2A1，
A?ABC?90?，D是BC的中点． （Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）求二面角C1?AD?C的余弦值；（Ⅲ）试问线段A?1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．
19．（满分12分）已知函数f?x??lnx?ax, （Ⅰ）若函数f?x?在?1,e?上的最小值为32，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f?x??x2在?1,???上恒成立，求实数a的取值范围.
20．（满分12分）数列?aS?n?满足n?2n?an?n?N?，
（Ⅰ）计算a1,a2,a3,a4并猜想通项公式an；（Ⅱ）用数学归纳法证明⑴中的猜想.
21. （满分12分）设z?11是虚数,z2?z1z是实数，且?1?z2?1. 1（Ⅰ）求z1?z11的值以及z1实部的取值范围；（Ⅱ）若??1?z，求证?为纯虚数.
122. （满分12分）已知函数f(x)?(x3?3x2?ax?b)e?x （Ⅰ）如a?b??3，求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)在(??,?),(2,?)单调递增，在(?,2),(?,??)单调递减，证明???＜6. w.w.w..s.5.u.c.o.m
2
理科数学参考答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A D D D B D C C B B 二、填空题 13．
?2 14．?1 15．63 16．③④ 三、解答题
17．（Ⅰ）反证法：由已知条件
2b?1a?1c假设B??2，则b?a,b?c，1b?1a,1b?1c,?2b?11a?c，矛盾?假设不成立，B??2（Ⅱ）2b?1a?1c?21ac?b2?ac,又b2?a2?c2?ac??a?c?2?0?a?c
18. （Ⅰ）证明：连结AC1，
交AC1于点O，连结OD.由 ABC?A1B1C1是直三棱柱，得 四边形ACC1A1为矩形，O为AC1的中点.又
D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以 A1B∥OD，因为 OD?平面
ADC1，A1B?平面ADC1， 所以 A1B∥平面ADC1.
（Ⅱ）解：由ABC?A1B1C1是直三棱柱，且?ABC?90?，故
BA,BC,BB1两两垂直.如图建立空间直角坐标系B?xyz.
设BA?2，则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C?????????1(2,0,1),D(1,0,0).所以 AD?(1,?2,0)，AC设平面ADC1的法向量为n=(x,y,z)，则有?????1?(2,?2,1)
??n??????AD??0,所以 ??n?AC?x?2y?0,1?0.?2x?2y?z?0. 取y?1，得n?(2,1,?2). 易知平面ADC的法向量为v?(0,0,1).由二面角C1?AD?C是锐角，得
cos?n,v??|n?v|nv?23. 所以二面角C?C的余弦值为21?AD3.
（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E.因为E在线段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设E(0,?,其中0???2.所以 ???AE??(0,??2,1)，????DC?1)，
(1,0,1).因为AE与DC?1?1成60角，所以?A???E???D?C????111E??D?1A?????. 即?，解得??1，舍去??3. 所以当点E为线段A1B1中点1C2(??2)2?1?22时，AE与DC?1成60角.
19． （Ⅰ）f??x??x?ax2.①若a??1，则x?a?0,f??x??0，?f?x?在?1,e?上为增函数，f?x?33min?f?1???a?2?a??2,舍去；②a??e，则?1,e?上f??x??0，f?x?为减函数
?f?x?a3emin?f?e??1?e?2?a??2舍去；③若?e?a??1，f?x?在?1,?a?上递减，在??a,e?上
递增，?f?x?a??ln??a??1?3min?f??2?a??e综上，a??e （Ⅱ）a?xlnx?x3在?1,???恒成立，令g?x??xlnx?x3，g??x??1?lnx?3x2，令
?x??1?lnx?32x?,??h??x1x??61x?x62hx，?x?1,?h??x??0在?1,???上恒成立，?h?x??h?1???2，即g??x??0， g?x??g?1???1?a??1.a的取值范围是?1,???.
37152n20．解：（1）a?1?1?1,a2?2,a3?4,a4?8猜想an?2n?1?n?N?
当n?1时，a1?1成立
假设n?k?k?1,k?N??时猜想成立，即a2k?1k?2k?1则当n?k?1时，
ak?1?Sk?1?S2k???1k???1ka2?kk?2a，??k?21?aa2??a2k?1k?1k?ak?2?2k?1 a2k?1即?1k?1?2k猜想成立， 21．⑴设z1?a?bi?a,b?R,且b?0?，则z2?a?bi?1?a??b?a?bi???a?a2?b2?????b?a2?b2??i 3
?a2?b2?1，即z1?1,z2?2a,??1?z2?1,??11?12?a?2，?实部的取值范围是1????2,2?? ⑵??1?a?bi1?a2?b2?2bib1?a?bi??1?a?2?b2?1?ai，?a?????12,1?2??,b?0,??是纯虚数. 22．解：（Ⅰ）当a?b??3时，f(x)?(x3?3x2?3x?3)e?x，故
f'(x)??(x3?3x2?3x?3)e?x?(3x2?6x?3)e?x
??e?x(x?3?9x) ??x(x?3)(x?3?e)xw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当x??3或0?x?3时，f'(x)?0; 当?3?x?0或x?3时，f'(x)?0.
从而f(x)在(??,?3),(0,3)单调增加，在（?3，0），（3，??）单调减少. (Ⅱ)f'(x)??(x3?3x2?ax?b)e?x?(3x2?6x?a)e?x??e?x[x3?(a?6)x?b?a].
由条件得：f'(2)?0,即23?2(a?6)?b?a?0,故b?4?a,从而 f'(x)??e?x[x3?(a?6)x?4?2a]. 因为f'(?)?f'(?)?0,所以
x3?(a?6)x?4?2a?(x?2)(x??)(x??)
?(x?2)(x2?(???)x???).
将右边展开，与左边比较系数得，?????2,???a?2.故
????(???)2?4???12?4a.
又(??2)(??2)?0,即???2(???)?4?0.由此可得a??6. 于是????6.w.w.w..s.5.u.c.o.m
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