?(?2)sin30?sin18??sin54??sin54??sin18?54??18?54??18?
?2cossin22?2cos36??sin18??2sin18??cos18??cos36?（出现倍角关系）
cos18?sin36??cos36?cos18?2sin36??cos36??2cos18?
sin72??2cos18?1?2?
四、三角中常用的变角代换技巧
在三角的计算与证明中，往往要进行角之间的变换，为了得到合理的角的变换式，就必须考察待求问题中的角与已知条件中的角之间的联系。三角中的变角代换具有很强技巧性，本文就三角中常用到的一些变角代换作些说明。 1. 单角化复角
这里所说的复角是指由角的和或角的差所形成的角。常用的角变换式有： <1>??(???)??，??(???)?? <2>?????2????2，?????2????2
2 例1. 求证：sinA?sinB?cosAsin(A?B)?2sinAsinA?B。 2 证明：左边?sinA?sin[(A?B)?A]?cosAsin(A?B)
?sinA?sin(A?B)cosA?cos(A?B)sinA?cosAsin(A?B) ?sinA[1?cos(A?B)]
?2sinAsin2
A?B22A?BA?B?cos2?1 22A?BA?BA?BA?B?)cos(?) 证明：左边?cos(2222 例2. 求证：cosAcosB?cos 16
?(cosA?B2cosA?BA?BA?B2?sin2sin2)?(cosA?BA?BA?BA?B2cos2?sin2sin2) ?cos2A?BA?BA?BA?B2cos22?sin22?sin22
?cos2A?Bcos2A?B?(1?cos2A?BA2)(1?cos2?B222)?cos2A?B?cos2A?B22?1 2. 单角化倍角
单角化倍角的主要角度换式有??2???。
例3. 求证：
1sin2x?cot2x?tanx
证明：左边?cosxcos(sin2xcosx?2x?x)sin2xcosx
?cos2xcosx?sin2xsinxsin2xcosx
?cot2x?tanx
例4. 求证：
2sinAcos3A?cosA?tan2A?tanA
证明：左边?2sin(2A?A)2cos2AcosA
?1cos2AcosA?(sin2AcosA?cos2AsinA) ?sin2AsinAcos2A?cosA ?tan2A?tanA 3. 倍角化复角
倍角化复角常用的角变换式有：2??(???)?(???)，2??(???)?(???) 例
5. 已知
cos(???)??45，cos(???)?45，且????(?2，?)????(3?2，2?)，求cos2?，cos2?。 解：因为cos(???)??45，????(?2，?)
所以sin(???)?1?cos2(???)?35
又因为cos(???)?43?5，????(2，2?) 17
，
所以sin(???)??1?cos(???)?? 所以cos2??cos[(???)?(???)]
23 5?cos(???)cos(???)?sin(???)sin(???) ?4433?(?)??(?)55557??25
所以cos2??cos[(???)?(???)]
?cos(???)cos(???)?sin(???)sin(???)4433 ??(?)?(?)?
5555??1 4. 复角化复角
复角化复角内容丰富，但主要有以下三组变换式： <1>2????(???)??，2????(???)?? <2>
???2?(???2)?(?2??)，???2?(???2)?(?2??)
<3>(
?4??)?(?4??)??2?(???)，(?4??)?(?4??)??2?(???)
2，求tan(??2?)之值。 513 解：因为cot??2，所以tan??，tan(???)??
25 例6. 已知cot??2，tan(???)?? 所以tan(??2?)??tan(2???)
??tan[??(???)]tan??tan(???)??1?tan?tan(???)12?(?) 25??121??(?)251??12
18
?? 例7. 已知cos(?1?2?)??，sin(??)?，并且????，0????，试求29232cos???2之值。
解：因为?2????，0????
所以
?4????2??，???4?2????2
因为cos(???2)??19，sin(?22??)?3
所以sin(???2)?1?cos2(???142)?1?(?9)2?95 cos(?2(?2??)?1?sin2??)?1?(253)2?3 所以cos???2?cos[(???2)?(?2??)]
?cos(???2)cos(?2??)?sin(????2)sin(2??) ?(?159)?3?459?23
?7527
例8. 已知
????3?54???34，0???4，且sin4(??)?5，cos(4??)?13，sin?(??)之值。
解：因为
?3??????4???4，0???4，所以2?4????，4?4????2
所以sin(?3?54??)?5，cos(4??)?13
所以cos(?4??)??1?sin2(?4??)
??1?(3)2??455 19
求sin(
?4??)?1?cos2(?1?(?4??)
5212)?1313 所以sin(???)
??cos[?2?(???)]??)?(??cos[( ??cos(?4?4??)]??)?sin(?4??)cos(?4?4??)sin(?4??)
45212???51331356?65? 在有些三角问题中，有时既要把单角化为复角，同时又要把复角化为复角。
例9. 已知3sin??sin(2???)，求证：tan(???)?2tan?。 证明：因为3sin??sin(2???)
所以3sin[(???)??]?sin[??(???)]
所以3[sin(???)cos??cos(???)sin?]?sin?cos(???)?cos?sin(???) 所以2sin?cos(???)?cos?sin(???) 所以tan(???)?2tan?
由以上数例可以看到，应用变角代换技巧，常可优解一些三角问题。
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